Grupo fundamental obtenido pegando dos bandas de mobius.

Question

Nos deja el pegamento de dos Bandas de Möbius $A$, $B$ a lo largo de sus fronteras. Queremos aplicar Van-Kampen del teorema para su unión. La intersección $L$ es homotópica a $S^1$. Así, obtenemos $$\pi_1(X) = \mathbb{Z}*_\mathbb{Z}\mathbb{Z}$$ Nos fijamos en lo que sucede cuando incluimos el límite en cada espacio. Deje $\pi_1(A)$ han generador $a$, $\pi_1(B)$ han generador $b$, $\pi_1(L)$ tiene generador de $\sigma$. Como el límite va alrededor del generador dos veces, obtenemos

$$i^*(\sigma)=a^2$$ $$j^*(\sigma) = b^2$$

Donde $i,j$ natural inclusiones. Por lo tanto $$\pi_1(X) = \langle a,b \mid a^2=b^2 \rangle $$.

Pero esto no parece correcto, ya que (al parecer) $X$ es sólo el de la botella de Klein $K$ $$\pi_1(K) = \langle a,b\mid abab^{-1} = 1 \rangle$$ Pero estos grupos no tienen el mismo aspecto.

Answer 1

Usaré dos juegos de letras diferentes para aclarar el mapa. Tienes, por un lado,$X=\langle a,b\;|\;a^2=b^2 \rangle $, y por otro lado,$K=\langle x,y\;|\;xyx=y \rangle$. Considere el mapa$f:X\to K$,$a\to xy$,$b\to y$. Ahora $$ f (a ^ 2) = (xy) ^ 2 = xyxy = (xyx) y = y ^ 2, $$ para que$a^2b^{-2}$ se encuentre en el kernel, y el mapa está bien definido.

Para obtener un mapa inverso, simplemente enviamos$x\to ab^{-1}$ y$y$ a$b$. Nuevamente, esto envía$xyx$ a$(ab^{-1})b(ab^{-1})=a^2b^{-1}=b^2b^{-1}=b$, por lo que el mapa está bien definido.