Valores propios de la dilatación hermitiana de cualquier matriz cuadrada.

Question

Consideremos cualquier $n \times n$ matriz $A$. Mi pregunta es, ¿cuáles son los valores propios de

\begin{equation} \mathcal{A} = \begin{bmatrix} 0 & A \\ A^* & 0 \end{bmatrix}. \end{equation}

Por supuesto, ya que $\mathcal{A}$ es traceless Hermitian si $\lambda$ es un autovalor, $-\lambda$ también es un autovalor.

Motivación y más preguntas: Si $A$ es Hermitian con autovalores $\lambda_j$, entonces los autovalores de a$\mathcal{A}$$\pm \lambda_j$. Podemos decir algo similar al $A$ no es Hermitian? Concedido, $A$ no puede ser diagonalizable, ¿se puede decir algo en términos de valores singulares? Lo que si, para un caso simple, todos los autovalores de a $A$ ser real, a pesar de $A$ no puede ser Hermitian? Avanzado gracias por cualquier ayuda/ sugerencias.

Answer 1

Si $A$ es hermitean y sus autovalores son $\{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}$, $\mathcal A$ es también hermitean y sus autovalores son $\{-\lambda_1,+\lambda_1,\dots,-\lambda_n,+\lambda_n\}$. (Esto es cierto también permitiendo que los autovalores repetidos; las multiplicidades se comportan como lo imagino.) Si $v\in\mathbb C^n$ es un autovector de a $A$ con autovalor $\lambda$, $(v,\pm v)\in\mathbb C^{2n}$ es un autovector de a $\mathcal A$ con autovalor $\pm\lambda$. Contando dimensiones muestra que estos forman un eigenbasis para $\mathbb C^{2n}$.

Considere entonces más general de la $A$. Si $w\in\mathbb C^{2n}$ satisface $\mathcal Aw=\mu w$ algunos $\mu\in\mathbb R$,$\mathcal A^2w=\mu^2w$. La razón para considerar a la plaza es que $$ \mathcal A^2 = \begin{pmatrix} AA^*&0\\ 0&A^*A \end{pmatrix}. $$ Las matrices $AA^*$ $A^*A$ son positivas semidefinite y hermitean, por lo que sus valores propios son los números reales positivos. El cuadrado autovalores de a $\mathcal A$ son por lo tanto los autovalores de a $AA^*$ $A^*A$ (cuadrado valores singulares de a $A$), contados con su multiplicidad.

Answer 2

$\det(\mathcal{A}-\lambda I_{2n})=\det(\lambda ^2 I_n-AA^*)$. Luego, los valores propios de$\mathcal{A}$ son$\pm$ de los valores singulares de$A$ (con multiplicidad).

Answer 3

Esta matriz puede ser diagonalizada por$\mathcal{U} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ da$\mathcal{U} \mathcal{A} \mathcal{U}^{-1} = \begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & -A \end{bmatrix}$, por lo que los valores propios son$\pm$ los valores propios de$A$, tal como dijiste, y eso es todo.