¿Cómo generar aleatoriamente una matriz semidefinita positiva sujeta a la restricción de Loewner?

Question

Para matrices semidefinitas reales, simétricas y positivas$A$ y$B$, digamos que$\leq_L$ denota la orden parcial de Loewner :$A \leq_L B$ iff$B-A$ es semidefinito positivo. Supongamos que$A$ y$B$ son matrices PSD fijas. ¿Existe un método para generar matrices PSD al azar de la región$\{X | A \leq_L X \leq_L B\}$? Mejor aún, ¿hay una manera de muestrear matrices de manera uniforme de esta región?

Answer 1

Deje $\mathbb S_n$ el conjunto de $n \times n$ matrices simétricas. Dado positivo semidefinite matrices $\mathrm A, \mathrm B \in \mathbb S_n$, el siguiente (convexo) establecer

$$\{ \mathrm X \in \mathbb S_n \mid \mathrm A \preceq \mathrm X \preceq \mathrm B \}$$

es un spectrahedron. Para muestra de spectrahedra, echa un vistazo a Narayanan del papel [0] y las referencias allí contenidas.

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[0] Hariharan Narayanan, Aleatorizado, de Punto Interior métodos de Muestreo y de Optimización, arXiv:0911.3950.