¿Si hace el $\lim\limits_{x\rightarrow\infty} (f'(x)+f(x)) =L<\infty$, $\lim\limits_{x\rightarrow\infty} f(x) $ existen?

Question

Quiero comprobar o refutar este problema: si existe $\lim\limits_{x\rightarrow \infty} (f'(x)+f(x))=L<\infty$ y $\lim\limits_{x\rightarrow\infty} f(x) =L$.

Cuando asumo el problema siguiente:

¿Si existen $\lim\limits_{x\rightarrow\infty} (f'(x)+f(x)) =L<\infty$, existe $\lim\limits_{x\rightarrow\infty} f(x)$?

Puedo usar Teorema del valor medio para demostrar que.

Mi pregunta es:

¿Si hace el $\lim\limits_{x\rightarrow\infty} (f'(x)+f(x))=L<\infty$, $\lim\limits_{x\rightarrow\infty} f(x)$ existen?

Answer 1

Considerar la función $$g(x)=e^{x} f(x).$$ Then $% $ $Dg(x)=e^{x}f(x)+e^{x}Df(x)=e^{x} \left( f(x)+Df(x) \right).$ahora, $$ \lim_{x \to + \infty} f (x) = \lim_{x \to + \infty} \frac{g(x)} {e ^ x} = \lim_{x \to + \infty} \frac{Dg(x)} {e ^ x} = \lim_{x \to + \infty} Df(x)+f(x) $$ por el teorema de l ' hospital.

N.B. Creo que este ejercicio se resolvió por G. Hardy en uno de sus libros.

Answer 2

Cuando $f'$ es continuo, puede evitar la regla de l'Hôspital diciendo:

Que $\epsilon >0$. Existe $x_0 \in \mathbb{R}$ tal implica de que $x \geq x_0$ %#% $ #%

Hence $$L-\epsilon < f'(x)+f(x) <L+\epsilon$$ $$(L-\epsilon)e^x < (f'(x)+f(x))e^x <(L+\epsilon)e^x$$ $$\int_{x_0}^t(L-\epsilon)e^xdx < \int_{x_0}^t (f'(x)+f(x))e^xdx <\int_{x_0}^t (L+\epsilon)e^xdx$$ $$(L-\epsilon)e^t-(L-\epsilon)e^{x_0} < e^tf(t)-f(0)<(L+\epsilon)e^t-(L+ \epsilon)e^{x_0}$$

$$(L-\epsilon) - (L-\epsilon)e^{x_0-t} < f(t)-f(0)e^{-t} < (L+ \epsilon)-(L+\epsilon)e^{x_0-t}$. Cuando $t \geq x_0$ es lo suficientemente grande, obtenemos %#% $ #%

Por lo tanto, $t$.