Homeomorfismo en $\mathbb{R}^{2}$ . Pista.

Question

Demostrar que los conjuntos $X = \lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^{2}\,|\,y=0\;\text{and}\;0<x<1 \rbrace$ y $Y = \lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^{2}\,|\,y=0 \rbrace$ son homeomórficos pero no hay ningún homeomorfismo $h: \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}$ tal que $h(X) = Y$ .

La primera afirmación es fácil, pero no sé cómo mostrar la segunda afirmación. ¿Alguna pista?

Answer 1

Una pista: ¿es alguno de los dos $X$ o $Y$ abierto/cerrado en $\mathbb R^2$ ?

Answer 2

Considere $Z=\bigl\{(x,y)\in\Bbb R^2\mid y=0\text{ and }0\le x\le 1\bigr\}.$ ¿Cómo es $Z$ relacionado con $X$ ? ¿Cómo es $h(Z)$ relacionado con $h(X),$ entonces, si $h$ es un homeomorfismo $\Bbb R^2\to\Bbb R^2$ ? Si $h$ fueran un homemorfismo $\Bbb R^2\to\Bbb R^2$ tal que $h(X)=Y,$ entonces qué sería $h(Z)$ ¿se? ¿Qué podemos concluir entonces?

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Añadido : Dicho de una manera mucho más sencilla, observe que $Y$ está cerrado en $\Bbb R^2.$ ¿Podemos decir lo mismo de $X$ ?