Una propiedad similar a la paracompacidad

Question

Definición 1: una familia$\{A_t\}_{t\in S}$ de subconjuntos de un espacio topológico$X$ es localmente finita si por cada punto $ x \ en X$ there exists a neighborhood $ U$ of $ x $ tal que el conjunto$\{s\in S : U \cap A\neq \emptyset\}$ es finito.

Dfinition2: un espacio topológico$X$ se llama un espacio de espacio * si$X$ es un espacio de Hausdorff y cada portada abierta de$X$ tiene una subcapa localmente finita.

¿ Son famosos los espacios ? ¿O hay alguna condición de equivalencia para ellos? (Tenga en cuenta que no son paracompactos)

Answer 1

Aún más se puede decir, supongamos $X$ tiene la propiedad de que cada cubierta abierta $\mathcal{U}$ tiene un punto finito subcover. A continuación, $X$ es compacto. Es claro que $\ast$-espacios tienen esta propiedad (como localmente finito implica punto finito).

Prueba: supongamos $\mathcal{U}$ ser cualquier abra la cubierta de $X$. Deje $U_0$ ser cualquier no-vacío conjunto abierto de $\mathcal{U}$ (e $p \in U_0$). Definir la apertura de la tapa

$$\mathcal{V} = \{ U \cup U_0: U \in \mathcal{U} \}\text{.}$$

Claramente $\mathcal{V}$ también es una cubierta abierta de a $X$ así que por supuesto tiene un punto finito subcover $\mathcal{V}'$. Como todos los miembros de $\mathcal{V}$ contiene $p$, este subcover sólo puede ser de punto finito si es finito. Pero luego finitely miembros de $\mathcal{U}$ también cubren $X$, mostrando el $X$ es compacto.

Tan exigente subcovers en lugar de refinamientos reduce casi todos los tales variaciones con el viejo y simple compacidad.