Dos teoremas sobre un cuadrilátero inscrito y el radio del círculo que contiene sus vértices

Question

Creo que esas dos teorema son dos de las más complicadas fórmulas que he visto; por favor probarlo porque no soy capaz de encontrar pruebas en internet:

Se sabe que si los lados de un cuadrilátero inscrito $ABCD$ (que es en el orden de $AB,BC,CD,DA$) tienen longitudes $a,b,c,d$ respectivamente y $p$ es semi perímetro de la quadrilatral, entonces:

Teorema 1: La longitud de la diagonal de a $AC$ de la quadrilatral es igual a $$\sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}\;.$$

Teorema 2: La radio del círculo que contiene todos los vértices del cuadrilátero es igual a $$\frac14\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}\;.$$

Por cierto, alguien ha visto a los teoremas en la geometría de libros de texto con la solución?

Answer 1

El uso de la regla de coseno en los triángulos$ABC$ y$ACD$ da$$\frac{a^2+b^2-AC^2}{2ab}+\frac{c^2+d^2-AC^2}{2cd}=\cos(\angle{ABC})+\cos(\angle{CDA})=0

Por lo tanto,$(ab+cd)AC^2=(a^2+b^2)cd+(c^2+d^2)ab=(ac+bd)(ad+bc)$ para$AC=\sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}$.

El área de un triángulo con lados$a, b, c$ y circumradius$R$ es$\frac{abc}{4R}$, así que tenemos la fórmula de Brahmagupta (donde$A$ es el área del cuadrilátero cíclico)

PS

Por lo tanto$$\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}=A=\frac{ab(AC)}{4R}+\frac{cd(AC)}{4R}=\frac{(ab+cd)AC}{4}\frac{1}{R}