Demostrar determinante de una matriz$=\prod_{j<i}(a_i-a_j)$

Question

Demuestre que$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_0 & a_1 & \cdots & a_n \\ a_0^2 & a_1^2 & \cdots & a_n^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_0^n & a_1^n & \cdots & a_n^n \\\end{vmatrix}=\prod_{j<i}(a_i-a_j)$ $. Tengo problemas con esto, pensé que sería factible con la teoría de Laplace pero no lo entiendo.

Answer 1

Es el determinante de una matriz de Vandermonde. El argumento estándar para calcular el determinante es escribir $$f(x) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_0 & a_1 & \cdots & x \\ a_0^2 & a_1^2 & \cdots & x^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_0^n & a_1^n & \cdots & x^n \\\end{vmatrix}.$$ Este es un polinomio en a $x$ grado $n$, y por las propiedades de los determinantes (el determinante de una matriz con dos columnas igual a cero), usted tiene que $a_0, a_1, \dots, a_{n-1}$ son raíces. Por lo tanto $$ f(x) = A \cdot (x-a_0) \cdot (x-a_1) \cdot\ldots \cdot (x - a_{n-1}). $$ Ahora busca en la matriz, se puede ver que el coeficiente de $A$ $x^{n}$ similar es el factor determinante del tamaño de uno menos. El uso de la inducción a la conclusión.