Escritura de prueba para polinomios.

Question

Deje que el polinomio $f(x)=x^n+a_1 x^{n-1}+a_2 x^{n-2}+.....a_{n-1}x+a_n$ tiene coeficientes enteros. Si existe cuatro distintos números enteros $a,b,c$ $d$ tal que $f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=5$ muestran que no hay ningún número entero $k$ tal que $f(k)=8$

He intentado probarlo pero de alguna manera siento que mi prueba es incorrecta por favor señalar los errores y sugerir alguna otra manera de hacer la pregunta. Esta como yo $\frac{x^{n+1}-1}{x-1}=x^n+a_1 x^{n-1}+a_2 x^{n-2}+.....a_{n-1}x+a_n $

$\frac{a^{n+1}-1}{a-1}=5$ por lo tanto $\frac{a^{n+1}-1}{5}=a-1$ Desde $a$ es un número entero $a-1$ también será un número entero, por tanto $5|a^{n+1}-1$

El uso de fermat poco teorema sabemos que $a^4-1\equiv_5 0$ Desde $f(a)=5$ obtenemos $n+1=4$

Sea k un entero tal que $f(k)=8$ $\frac{a^4-1}{8}=a-1$ Desde $a-1$ es un número entero $8|a^4-1$

Vamos a considerar dos casos

1. al $a$ es un entero par
2. al $ a$ es un entero impar

Si $a$ es incluso, a continuación, $a^4-1$ será raro y no ser divisible por $8$

Si $a$ es impar, entonces será relativamente primer a $8$ por lo tanto $8$ será el número de Carmichael

$a^7-1\equiv0(mod8)$ lo que demuestra que $a^4-1$ no es divisible por 8. $\therefore$ no hay ningún número entero k tal que $f(k)=8$

Answer 1

Consejo: muestra que si$f(a) = f(b) = f(c) = f(d) = 5$, entonces

PS

para algunos polinomios$$f(x) = 5 + (x-a)(x-b)(x-c)(x-d) g(x)$ con coeficientes enteros. Si$g$, entonces

PS

pero un producto de cuatro enteros distintos no puede ser un divisor de$f(e) = 8$.

Answer 2

Creo que la primera parte de su solución es incorrecta ($\frac{x^{n+1}-1}{x-1}=x^n+x^{n-1}+\cdots+x+1$, no $x_n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n$).

Desde $f$ es un polinomio con coeficientes enteros, tenemos $a-b|f(a)-f(b)$ todos los $a, b\in \mathbb{Z}, a\neq b$. Así, si suponemos que existe entero$k$$f(k)=8$, $k-x|f(k)-f(x)=3$ donde $x=a,b,c,d$. Desde $a,b,c,d$ son todos distintos, tenemos $\{a,b,c,d\}=\{k-3,k-1,k+1,k+3\}$.

A continuación, considere $g(x)=f(x-k)-5$. $g$ claramente es un monic polinomio con coeficientes enteros tales que $g(0)=3, g(-3)=g(-1)=g(1)=g(3)=0$. Si establecemos $g(x)=x^n+b_1x^{n-1}+\cdots+b_{n-1}x+b_n$, por las condiciones que hemos $b_n=3$ y siguientes:

$3^n+3^{n-1}b_1+\cdots+3b_{n-1}+3=0 \rightarrow 3^{n-1}+3^{n-2}b_1+\cdots+b_{n-1}+1=0$

$(-3)^n+(-3)^{n-1}b_1+\cdots+(-3)b_{n-1}+3=0 \rightarrow (-3)^{n-1}+(-3)^{n-2}b_1+\cdots+b_{n-1}-1=0$

A partir de la primera ecuación tenemos $b_{n-1}\equiv-1 \mod 3$, mientras que a partir de la segunda ecuación tenemos $b_{n-1}\equiv 1 \mod 3$, una contradicción. Por ello no existe tal $f$.