¿Cuál es la suficiente y necesaria condición para $U$ $V$ a ser el mismo en la SVD?

Question

Como sabemos, SVD decomposites cualquier matriz $M$ en el formulario: $$M=U\Sigma V^*,$$ where $U$ and $V$ normalmente son diferentes.

En aquí en Wikipedia dice que una matriz a es normal si y sólo si $U=V$. Pero en el mismo artículo, se levantó un ejemplo de una matriz de $$M=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}=U\Sigma V^*,$$ where $$U= \left( \begin{array}{ccc} -0.57735 & 0.816497 & 0. \\ -0.57735 & -0.408248 & -0.707107 \\ -0.57735 & -0.408248 & 0.707107 \\ \end{array} \right),$$ but $$V=\left( \begin{array}{ccc} -0.57735 & 0.408248 & 0.707107 \\ -0.57735 & 0.408248 & -0.707107 \\ -0.57735 & -0.816497 & 0. \\ \end{array} \right),$$ de acuerdo con software de matemáticas. Ellos no son iguales, ¿por qué?

Answer 1

Deje $M = U \Sigma V^*$ ser un SVD de a $M$. Supongamos que $V=U$. A continuación, $M$ es simétrica positiva definida. Por el contrario, si $M$ es simétrica positiva semi-definida, entonces cualquier unitario eigendecomposition $M=U \Lambda U^*$ en el que la diagonal entradas de $\Lambda$ están ordenados de máximo a mínimo, es un SVD de a $M$.

Por lo tanto $U=V$ en la SVD si y sólo si $M$ es simétrica positiva semidefinite.

También, el artículo de wiki de referencia, no dice que $U=V$ si y sólo si $M$ es normal.

En su ejemplo, $M$ no es ni simétrica, por lo tanto no puede ser el caso de que $U=V$.

Answer 2

Lea la página de la Wiki de nuevo. Dice $M$ es normal si y sólo si $M=U\Lambda U^\ast$ para algunos matriz diagonal $\Lambda$ y algunos unitario de la matriz $U$. Tenga en cuenta que $\Lambda$ puede ser no real. Sin embargo, en un SVD $M=U\Sigma V^\ast$, $\Sigma$ es una verdadera matriz diagonal. Así, los dos descomposiciones no están en conflicto el uno con el otro.

En realidad, como se señaló en Manos de la respuesta, si $U=V$ en el SVD de a$M$, $M$ es no sólo normal, sino que debe ser positivo semidefinite.