¿Se trata de un oscilador accionado?

Question

Una masa $m$ está unido a un muelle vertical sin masa o a una constante de muelle $k$ . Originalmente, el muelle estaba relajado porque la masa estaba sujeta por un clip. De repente, el clip se soltó. La masa descendió y la elongación máxima del muelle se registró como $l$ . ¿Cuál es la frecuencia de resonancia del sistema? La constante gravitacional es $g = 9.8 \frac{m}{s}$ .

Supongo (basándome en las instrucciones del profesor) que la intención de la pregunta es que aquí hay algo de amortiguación (constante de amortiguación $b$ ). Lo que me confunde es si la fuerza gravitacional aquí hace que esto sea un oscilador amortiguado impulsado o no. La fuerza "impulsora" es una constante, por lo que no cambia las oscilaciones en absoluto (¿creo?). Es decir, ¿mi ecuación (para $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ y $\beta = \frac{b}{2m}$ ):

$$ \ddot{x} + 2\beta\dot{x} +\omega^2x = 0 $$

o

$$ \ddot{x} + 2\beta\dot{x} +\omega^2x = g $$

Si es conducido, ¿es mi frecuencia de resonancia $\omega_r = \sqrt{\omega_0^2 - 2\beta^2}$ ? ¿Qué otro significado tendría la frecuencia de resonancia en este caso?

Answer 1

Su ecuación es la segunda ley de Newton. Eso es siempre cierto para cualquier sistema en la mecánica newtoniana. Así que es muy sencillo averiguar qué ecuación de movimiento se aplica a este sistema: escribe $\sum F = ma$ , introduce las fuerzas y simplifica.

Ahora, para abordar la otra cuestión: ¿una fuerza constante puede considerarse una fuerza motriz? Yo diría que hay dos maneras de pensar en esto:

• Intuitivamente, se entiende que una "fuerza motriz" es algún tipo de fuerza que mantendrá la oscilación incluso sin la respuesta natural del oscilador. Imagina lo que haría este sistema sin un resorte. La gravedad no lo haría oscilar; simplemente caería, y eso no es realmente lo que la mayoría de la gente consideraría "fuerza motriz". Estrictamente hablando, sí es el límite de una fuerza impulsora oscilatoria cuando la frecuencia llega a cero, pero en este caso, algunas de las propiedades que caracterizan a un oscilador impulsado, tal y como lo concebimos normalmente, no se trasladan a la frecuencia impulsora cero.
• Matemáticamente, cualquier oscilador armónico simple (impulsado o no, amortiguado o no) tiene una posición de equilibrio, y es convencional elegir una coordenada $q$ de manera que la posición de equilibrio esté en $q = 0$ . Teniendo esto en cuenta, consideremos la transformación de coordenadas $q = x - \frac{g}{\omega^2}$ . Te dejaré que descubras las implicaciones de esto. :-) (Dato curioso: esto es matemáticamente equivalente al mecanismo de Higgs).

El punto que hay que sacar de esto, de cualquier manera, es que no, una fuerza constante no es una fuerza motriz, pero eso es realmente una cuestión de terminología, específicamente lo que la gente suele entender por "fuerza motriz".