Por qué no me importa que lisa campos vectoriales sobre un suave colector tiene una Mentira álgebra?

Question

Así que, sé que los siguientes hechos:

1. Una Mentira grupo es un grupo y un Colector, cuya estructura de grupo es continua con respecto a la estructura del Colector de

2. La Mentira de álgebra es un espacio vectorial con una Mentira estructura de soporte.

3. Cada Mentira grupo tiene un correspondiente Mentira álgebra.

4. La Mentira de álgebra representa el "infinitesimal" comportamiento de la Mentira de grupo.

Hasta aquí, las cosas que hace sentido. Sin embargo, esto es a donde pierdo:

5. El espacio Vectorial de todos los campos Vectoriales sobre un Colector de formar una Mentira álgebra con la Mentira de soporte de vectores de los campos de la estructura.

¿Por qué me importa el hecho de 5? Es porque es "lindo" que la Mentira de soporte existe? ¿Qué gano al demostrar que los campos vectoriales tienen una mentira estructura de soporte?

Answer 1

Yo no puedo responder a esa pregunta en su título, tal vez usted acaba de no atención. ;-)

Pero te diré algunas razones por las que me parece interesante y útil.

1. En primer lugar, y tal vez más profundo, es que usted puede ver el grupo de todos diffeomorphisms de un buen colector $M$ infinito-dimensional Fréchet Mentira grupo, y su Mentira álgebra es exactamente $\mathfrak X(M)$ con su Mentira estructura de soporte (ver este el artículo de Richard Hamilton para una hermosa exposición de este punto de vista).

2. En segundo lugar, toda suave a la derecha por la acción de la (finito-dimensional) se encuentran en grupo $G$ $M$ determina una Mentira álgebra homomorphism de $\operatorname{Lie}(G)$ $\mathfrak X(M)$, envío de us $X\in \operatorname{Mentira}(G)$ to the vector field $\widehat X\in \mathfrak X(M)$ defined by $$ \widehat X_p = \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0} p\cdot \exp tX. $$ Por el contrario, dado cualquier finito-dimensional Mentira subalgebra $\mathfrak g\subset \mathfrak X(M)$ con la propiedad que cada campo de vectores en $\mathfrak g$ es completa, no es un suave derecho de acción de los conecta simplemente a la Mentira de grupo $G$ cuyo Mentira el álgebra es isomorfo a $\mathfrak g$, e $\mathfrak g$ es la imagen de la Mentira álgebra homomorphism descrito anteriormente. (Ver págs. 525-530 de mi Introducción a la Suave Colectores [ISM].)

3. Usted puede pensar en la Mentira estructura de álgebra de $\mathfrak X(M)$ como la provisión de obstrucciones a la conmutatividad de los flujos: Dos suave flujos de $M$ conmutan si y sólo si sus infinitesimal los generadores tienen cero Mentira soporte [ISM, Thm. 9.44].

4. Si $M$ está dotado de un completo métrica de Riemann, el conjunto de todos Matanza de campos vectoriales es finito-dimensional Mentira subalgebra de $\mathfrak X(M)$, que es el álgebra de la Mentira de la plena grupo de isometría de $M$.

5. En la presencia de una estructura simpléctica, hay un mapa de $C^\infty(M)$ $\mathfrak X(M)$envío de $f$ a su Campo de vectores hamiltoniano $X_f$, lo que da un álgebra de la Mentira isomorfismo (o anti-isomorfismo, dependiendo de sus convenciones) entre el $C^\infty(M)/\{\text{constants}\}$ con su corchete de Poisson estructura y una cierta Mentira subalgebra $\mathscr H(M)\subseteq \mathfrak X(M)$, el álgebra de campos vectoriales Hamiltonianos. Este a su vez es una subalgebra de una mayor Mentira subalgebra $\mathscr S(M)\subseteq \mathfrak X(M)$, el simpléctica campos vectoriales, y el cociente $\mathscr S(M)/\mathscr H(M)$ es naturalmente isomorfo a la primera de Rham cohomology de $M$. (Véase, por ejemplo, [ISM, Cap. 22].) La Mentira de álgebra estructura de $\mathscr H(M)$ desempeña un papel central en la dinámica de los sistemas, por ejemplo en la identificación de completamente integrable en sistemas y en el teorema de Noether acerca de la relación entre simetrías y cantidades conservadas.

6. El teorema de Frobenius dice que una distribución lineal (es decir, el vector subbundle) $D\subseteq TM$ es tangente a una foliación si y sólo si el conjunto de secciones suaves de $D$ es una Mentira subalgebra de $\mathfrak X(M)$. [Gracias a Jason deVito para lo que sugiere que esta una.]
7. Y, por supuesto, no debería dejar fuera la que más directamente relacionados con la Mentira de los grupos (si $G$ es una Mentira, la Mentira de álgebra de $G$ es, naturalmente, se dio cuenta de que la Mentira subalgebra $\mathfrak g\subset \mathfrak X(G)$ consta de izquierda-invariante vectorial de los campos. [Señalado por @Joppy en comentarios anteriores.]

Estoy convencido de que...?