¿Por qué normal de ordenar violar el Barrio de identidad?

Question

Es bien sabido que la normal de ordenar el Lagrangiano elimina todas las diagramas de Feynmann con renacuajos$^{[1]}$. En el caso de los fotones de la auto-energía escalar QED, uno de los diagramas es, de hecho, un renacuajo:

Si se calcula el $\Pi^{\mu\nu}$ descuidar la segunda (renacuajo) diagrama, el resultado de la auto-energía no es transversal, $p_\mu \Pi^{\mu\nu}\neq 0$. Por lo tanto, aquí normal de ordenar viola el Barrio de identidad.

Como el Barrio de la identidad es una consecuencia de la conservación actual$^{[2]}$ (y no del calibre de la invariancia, como se dice a veces), me llevó a creer que la normal ordenó actual no se conserva: $$ \partial\cdot j_\mathrm{em}=0\qquad\text{pero}\qquad \partial\cdot\ \colon j_\mathrm{em}\colon\neq 0 $$

Pero, hasta donde yo sé, normal de ordenar la corriente es equivalente a restar un fondo constante de la densidad de carga (también conocido como el mar de Dirac), y por lo tanto $$ :j^\mu_\mathrm{em}:=j_\mathrm{em}^\mu-\delta^\mu_0 \rho $$ con (divergente) constante $\rho$. Por lo tanto, si $j_\mathrm{em}$ se conserva, en principio, $:j_\mathrm{em}:$ debe ser así. A menos que haya algún tipo de anomalía (?).

Por lo tanto, mi pregunta: ¿por qué la normal de ordenar violar el Barrio de identidad?

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$[1]$: véase, por ejemplo, Itzykson Y Zuber la Teoría Cuántica de campos, página 271.

$[2]$: ibid., la página 407. Lo que es más, aquí la prueba de la identidad de Barrio se lleva a cabo con una normal ordenó actual (en spinor QED)!

Answer 1

Pensé acerca de esto y tengo una idea acerca de lo que está pasando, pero esto no será una respuesta completa que se deriva que el normal ordenó actual conduce a la sala de identidad, aunque creo que se puede hacer.

Lo que es normal hacer el pedido? La razón para la introducción de la normal de ordenar es que los operadores que involucran a los productos de los campos en el mismo punto en el espacio-tiempo están mal definidos. Así que una forma de regularizar esta es multiplicar los campos en diferentes puntos y restar el propagador $\Delta$ que las conecta. $$:\phi(x+\epsilon)^\dagger\phi(x):\,\,=\phi(x+\epsilon)^\dagger\phi(x)-\Delta(\epsilon)$$ De esa forma el singular comportamiento cancela en el lado derecho y podemos definir $:\phi^\dagger\phi(x):$, por ejemplo.

El problema es que en una teoría de gauge $\phi(x+\epsilon)^\dagger\phi(x)$ ya no es invariante gauge desde los dos puntos diferentes pueden tener diferentes rotaciones de fase. Así que lo que necesitas es usar el invariante gauge cantidad $$\phi(x+\epsilon)^\dagger\phi(x)\exp\left(i\int^{x+\epsilon}_x A(x')dx'\right).$$ Voy a llamar a $:\phi^\dagger\phi:$ la no-invariante gauge de la cantidad anterior. Como $\epsilon\rightarrow 0$, el invariante gauge producto se va a $$\left(:\phi^\daga\phi:+\Delta(\epsilon)\right) \left(1+i\epsilon\right)$$ La cruz de término $\Delta(\epsilon)\epsilon A$ no van necesariamente a cero desde $\Delta$ va al infinito. Simplemente haciendo caso omiso de los diagramas con un escalar propagador en el mismo punto que usted está usando $:\phi^\dagger\phi:$, pero esto no es invariante gauge a menos que incluya el diagrama de $\Delta\epsilon A$.

Sí $\phi^\dagger\phi$ no es el actual, en tu ejemplo, y este argumento sólo es esquemático, pero creo que este es el meollo de la cuestión.