$x,y,z \in \mathbb{Z^+}$ tal que $x^2+y^2=z^2(1+xy)$. Demostrar $z=\min \{x;y;z\}$
$$x^2+y^2=z^2(1+xy) \iff xy = \frac{x^2+y^2} {z^2} - 1$$. Assum $z>y \implica xy < x^2/z^2$, we have $xy \Z \implica x> z$ atascado...
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
zyx
Puntos
20965
Esta es una variante de la $ab+1$ problema (un viejo y famoso asesino problema de la IMO), y es un corolario de su solución. Fijo $z$, las soluciones de $(x,y)$ organizar en una cadena donde el tamaño de la solución puede ser reducido por el movimiento hacia abajo de la cadena hasta que la solución mínima con $xy=0$ es alcanzado. Esta pequeña solución es $(0,z)$ o $(z,0)$. El más pequeño de la solución positiva es adyacente a éste en la cadena, y al lado de la solución tiene una variable de la misma, por lo que el más pequeño de la solución positiva es $(z,t)$ o $(t,z)$ para un cierto valor de $t$ (mayor que el de $z$, en el hecho de $t = z^3$). Esto ha $\min(x,y)=z$, y el de otras soluciones positivas tienen mayores valores de $\min(x,y)$. Por las mismas razones, en una solución positiva, $\max(x,y) \geq z^3$. Las desigualdades son una forma complicada de decir que $(x,y)=(z,z^3)$ es el menor entero positivo solución de la ecuación.
Hubo un cuidadoso análisis de las $ab+1$ problema aquí:
Aparentemente no válido paso en la prueba de $\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ es un cuadrado perfecto?
Editar:
En realidad, el proceso de reducción, se aplica a cualquier no entero solución fija $z$, debe finalmente llegar a un par de $(x,y)$$0 < x < z \leq y$, por lo que este problema sólo puede funcionar como un Diophantine pregunta y no es derivable de las desigualdades. La solución mínima general tendrá $xy < 0$ y de ambas variables en menos de $z$ en tamaño absoluto.
