Una pregunta sobre la definición de grupo de Galois

Question

En mi libro, el grupo de Galois se define como el conjunto de automorfismos en $E/F$ que "dejan solos" a los elementos en $F.

En Wikipedia dice:

"Si $E/F$ es una extensión de Galois, entonces $Aut(E/F)$ se llama el grupo de Galois de la extensión $E$ sobre $F$, $\dots"

Y la definición de Galois en Wikipedia:

"Una extensión de campo algebraica $E/F$ es Galois si es normal y separable. De manera equivalente, la extensión $E/F$ es Galois si y solo si es algebraica, y el campo fijo por el grupo de automorfismos $Aut(E/F)$ es precisamente el campo base $F.

Entonces, en un caso, Wikipedia, la extensión está restringida a ser algebraica. Por lo tanto, el conjunto de automorfismos en $\mathbb{Q}(\pi) / \mathbb{Q}$ no es un grupo de Galois.

Mi pregunta: ¿Cómo es posible tener dos definiciones diferentes de lo que es un grupo de Galois? ¿No entran en conflicto? ¿O qué es lo que me estoy perdiendo aquí?

Muchas gracias por tu ayuda.

Edición:

Estoy utilizando J. Gallian, Álgebra Abstracta Contemporánea y Allan Clark, Elementos de Álgebra Abstracta. Ambos utilizan la misma terminología, no la misma que Wikipedia.

Answer 1

Hay una ligera divergencia de nomenclatura. Todos están de acuerdo en lo que es $\mathrm{Aut}(E/F)$. La pregunta es cómo llamarlo.

1. Algunos libros (por ejemplo, Hungerford, el Teoría de Galois de Rotman), siempre se refieren a $\mathrm{Aut}(E/F)$ como el "grupo de Galois" de $E$ sobre $F$ (o de la extensión), ya sea que la extensión sea o no una extensión de Galois.

2. Otros libros (por ejemplo, Lang), usan el término genérico "grupo de automorfismos" para referirse a $\mathrm{Aut}(E/F)$ en el caso general, y reservan el término grupo de Galois exclusivamente para la situación en la que $E$ es una extensión de Galois de $F.

Entonces, en Lang, incluso solo decir "grupo de Galois" ya implica que la extensión debe ser una extensión de Galois, es decir, normal y separable. En Hungerford, solo decir "grupo de Galois" no implica nada más allá del hecho de que estamos mirando el automorfismo de la extensión.

Wikipedia está siguiendo la Convención 2; tu libro está siguiendo la convención 1.

También está la cuestión de si admitir extensiones infinitas o no. Muchos libros introductorios solo consideran extensiones finitas cuando tratan la Teoría de Galois, y definen una extensión como Galois si y solo si $|\mathrm{Aut}(E/F)| = [E:F]$. Esta definición no se extiende a la extensión infinita, por lo que las definiciones están restringidas a extensiones finitas (algebraicas), sin considerar en absoluto las extensiones infinitas. Otras caracterizaciones de una extensión siendo Galois (por ejemplo, normal y separable) se generalizan naturalmente a extensiones infinitas, por lo que no se coloca ninguna restricción. Del mismo modo, algunos libros restringen explícitamente a extensiones algebraicas, otros no; pero hay que tener en cuenta que la mayoría define "normal" para requerir que sea algebraica, porque se define en términos de inclusiones en el cierre algebraico del campo base, por lo que incluso si no se requiere explícitamente que la extensión sea algebraica para ser Galois, en realidad esta restricción está (casi) siempre presente.

Esto no es tan importante como podría parecer, porque se puede mostrar que una extensión de Galois arbitraria (posiblemente infinita) $E/F$ está completamente caracterizada en un sentido muy preciso por las extensiones finitas Galois $K/F$ con $F\subseteq K\subset E$ con $[K:F]\lt\infty$, ya que el grupo de automorfismos $\mathrm{Aut}(E/F)$ es el límite inverso de los grupos de automorfismos finitos correspondientes.

Answer 2

No sé qué libro estás usando o cuál es la declaración precisa en él, pero así es como se usa la terminología (al menos dentro del mundo matemático de habla inglesa) [Editar: esta puede ser una declaración demasiado categórica; ver respuesta de Arturo Magidin]:

Si $E/F$ es una extensión de campos, entonces $Aut(E/F)$ denota los automorfismos de campo de $E$ que dejan fijo cada elemento de $F.

Si $E/F$ es una extensión de Galois (es decir, finita, separable y normal), entonces uno escribe $Gal(E/F)$ para $Aut(E/F)$ y lo llama el grupo de Galois de $E$ sobre $F. Así que los grupos de Galois son un caso especial de grupos de automorfismos. La razón de introducir esta nueva terminología (es decir, $Gal(E/F)$) para un concepto más general existente (es decir, $Aut(E/F)$) es en parte histórica, y también para servir como un recordatorio de que en el caso particular cuando $E/F$ es Galois, hay una rica teoría (la correspondencia de Galois) relacionando $Gal(E/F)$ y la estructura teórica de extensión de campo de $E/F, lo cual no se cumple en contextos más generales.

Nota que también hay una noción de extensión de Galois de grado infinito $E/F$ (si $E/F$ es una extensión infinita de $F$, se dice que es Galois si $E$ es la unión de subextensiones finitas de $F; en particular, $E$ sigue siendo necesariamente algebraico sobre $F), y en este contexto también se utiliza la notación $Gal(E/F)$ para $Aut(E/F)$. Pero en este caso también se dota a $Gal(E/F)$ con estructura adicional (no solo se convierte en un grupo, sino en un grupo topológico). Además, este caso típicamente no se trata en libros de texto y cursos de pregrado (al menos en los EE.UU.), así que si estás aprendiendo este material por primera vez, no querrás preocuparte por ello.

Finalmente, quiero decir que estudiar $Aut(\mathbb Q(\pi)/\mathbb Q)$ (solo para dar un ejemplo no relacionado con la teoría de Galois) es interesante e importante; simplemente no forma parte de la teoría de Galois.

Answer 3

Se supone que se debe demostrar en tu libro de teoría de Galois como un teorema importante, si no, en primer lugar, considera el grado de L|F, y en segundo lugar, considera el campo fijo, o echa un vistazo al libro Van Der Wareden Álgebra puede ser de alguna ayuda.
Edit: Aquí quiero decir que el campo fijo de Aut(E|F) es exactamente igual a F cuando E|F es
(1)Finito
(2)Separable
(3)Normal
y la conversa también es cierta, si esta no es tu pregunta, eliminaré mi publicación inmediatamente, gracias.