Propiedades del operador $T: f\to f*g$

Question

Sea g ser la característica de la función de [-1/2,1/2].

$T: f\to f*g$ (convolución).

He logrado probar que T es lineal,acotado,auto adjunto,inyectiva operador y la imagen es inclused en el espacio $H^1(R)$. Alguien me puede ayudar a averiguar si T es también compacto/surjective? Gracias de antemano.

Answer 1

Es mucho más fácil hacer este cálculo en el espacio de Fourier: $$ \widehat{Tf}(\xi) = \hat g(\xi) \hat g(\xi) .$$ Y la transformada de Fourier es una isometría en $L^2$. Así que busque en el operador $$ S f(x) = \hat g(x) f(x) $$ y derivan todas las propiedades de esa manera en lugar.