¿Qué es? $x$ , si $\cot ^{-1} \left(3x+\frac{2}{x}\right)+\cot ^{-1} \left(6x+\frac{2}{x}\right)+\cot ^{-1} \left(10x+\frac{2}{x}\right)+\cdots = 1$ ?

Question

Dejemos que

$$S_{n}=\cot ^{-1} \left(3x+\frac{2}{x}\right)+\cot ^{-1} \left(6x+\frac{2}{x}\right)+\cot ^{-1} \left(10x+\frac{2}{x}\right)+\cdots \quad\text{($ n $ terms)}$$ donde $x>0$ . Si $\lim _{n \to \infty} S_{n}=1$ y luego encontrar el valor de $x$ .

¿Se pueden convertir las series dadas en series telescópicas? He convertido en $\tan^{-1}$ pero en cada plazo $x$ está en el numerador? ¿Podría alguien dar alguna pista?

Answer 1

Tenemos \begin{eqnarray*} \cot^{-1}(A)-\cot^{-1}(B)=\cot^{-1}\left(\frac{AB+1}{B-A} \right). \end{eqnarray*} En su caso, esto da \begin{eqnarray*} \cot^{-1}\left(\frac{i(i+1)x}{2}+\frac{2}{x} \right)=\cot^{-1}\left(\frac{ix}{2} \right)-\cot^{-1}\left(\frac{(i+1)x}{2} \right). \end{eqnarray*} Así que la suma es telescópica y obtenemos $\color{red}{x=\cot(1)}$ .

Answer 2

Argumentando con soltura,

$\begin{array}\\ S_n &=\sum_{i=1}^{n} arccot(\frac{(i+1)(i+2)x}{2}+\frac{2}{x})\\ &\approx \frac{2}{x}\sum_{i=1}^{n} \dfrac1{(i+1)(i+2)} \qquad\text{since }arccot(x) \approx \frac1{x} \text{ for large } x \\ &=\frac{2}{x}\sum_{i=1}^{n} (\dfrac1{i+1}-\dfrac1{i+2})\\ &=\frac{2}{x}(\frac12-\frac1{n+2}) \\ &=\frac1{x}-\frac{2}{x(n+2)}) \\ \end{array} $

Así que si $S_n \to 1$ , debe tener $x = 1$ .

Sería entretenido si este descuidado argumento fuera correcto.