Ecuación de demostración

Question

Deje $\delta f \equiv \frac{\Delta f}{f}$ demostrar que:

$$\matriz{\delta(xy) &=& \delta x + \delta y\\ \delta(x/y) &=& \delta x \delta y\\ \delta(x+y) &=& \frac{x}{x+y}{\delta x} + \frac{y}{x+y}{\delta y}}$$

El uso de aritmética de punto flotante, estoy tratando de demostrar las fórmulas. Para la primera fórmula, he probado algo como esto: sé que $f(xy)= f(x)f(y)$

$$\Delta f \approx \sum_{i=1}^n\Delta x_i \frac{\partial f}{\partial x}$$

Pero me atoré, incluso en la primera ecuación. Cualquier orientación, ejemplo o ayuda se agradece.

Answer 1

Tenemos una función de $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ de dos variables (que suponemos es diferenciable) y queremos determinar cuánto el valor de la función $f(x,y)$ cambio si hacemos un pequeño cambio $(\Delta x,\Delta y)$ hasta el punto de $(x,y)$. Este cambio se denota como

$$\Delta f(x,y) \equiv f(x+\Delta x,y+\Delta y) - f(x,y)$$

A partir de una expansión de Taylor tenemos que a primer orden en las pequeñas cantidades $\Delta x,\Delta y$ este cambio está dado por

$$\Delta f(x,y) \simeq \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\Delta y$$

el buceo por $f(x,y)$ y el uso de la definición de $\delta[f]= \frac{\Delta f}{f}$ podemos escribir la ecuación como (bajando el $(x,y)$ etiqueta para simplificar)

$$\delta f \simeq \frac{1}{f}\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x + \frac{1}{f}\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y$$

Nos puede manipular a través de la $\delta x=\frac{\Delta x}{x}$$\delta y=\frac{\Delta y}{y}$, para llegar a

$$\delta f \simeq \left(\frac{x}{f}\frac{\partial f}{\partial x}\right)\delta x + \left(\frac{y}{f}\frac{\partial f}{\partial y}\right)\delta y$$

La fórmula de arriba, y la capacidad para calcular los derivados es todo lo que necesita para resolver el problema en cuestión. Usted necesidad de aplicar a las tres funciones $f_1(x,y) = xy$, $f_2(x,y) = x/y$, $f_3(x,y) = x+y$. Voy a continuación a dar un ejemplo para el primer caso.

Para la función de $f_1(x,y) = xy$ tenemos $\frac{\partial f_1}{\partial x} = y$ $\frac{\partial f_1}{\partial y} = x$ da $\frac{x}{f_1}\frac{\partial f_1}{\partial x} = \frac{x}{xy}\cdot y = 1$$\frac{y}{f_1}\frac{\partial f_1}{\partial y} = \frac{y}{xy}\cdot x = 1$. El uso de este la ecuación anterior, dice que

$$\delta [xy] \simeq \delta x + \delta y$$

Answer 2

Usted puede hacer de la siguiente manera: $$\delta(xy)=\frac{\Delta(xy)}{xy}=\frac{(x+\Delta x)(y+\Delta y)-xy}{xy}=\frac{xy+x\Delta. y+\Delta x. y+\Delta x.\Delta y-xy}{xy}=\frac{x.\Delta y+\Delta x. y+\Delta x.\Delta y}{xy}=\delta y+\delta x+\delta x\delta y\sim \delta x+\delta y$$ debido a que el plazo $\delta x\delta y$ es neglectable en comparación con los dos primeros.

Para el segundo problema: $$\delta\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{\frac{x+\Delta x}{y+\Delta y}-\frac{x}{y}}{\frac{x}{y}}=\frac{xy+y\Delta x-xy-x\Delta y}{y(y+\Delta y)}\cdot\frac{y}{x}=\frac{y\Delta x-x\Delta y}{x(y+\Delta y)}$$ $$=\delta x\cdot\frac{y}{y+\Delta y}-\frac{\Delta y}{y+\Delta y}\sim\delta x-\delta y$$ debido a $$\frac{y}{y+\Delta y}=\frac{1}{\frac{y+\Delta y}{y}}=\frac{1}{1+\delta y}\sim 1$$ y $$\frac{\Delta y}{y+\Delta y}=\frac{\Delta y/y}{1+\Delta y/y}=\frac{\delta y}{1+\delta y}\sim \delta y$$ Anteriormente hemos asumido que $\delta y<< 1$, lo cual es cierto si $\Delta y<<y$, yo.e si $y$ es mucho mayor que la precisión de la máquina $\Delta y$.

El tercer problema se realiza de forma análoga.