Modus Ponens: implicación frente a vinculación

Question

¿Sería incoherente escribir el Modus Ponens utilizando sólo la implicación y no la vinculación?

$(p \wedge (p \to q)) \to q$

La forma en que yo entiendo es que la implicación ( $ \to$ ) es un operador que produce una nueva declaración $p \to q$ dadas las declaraciones existentes $p$ , $q$ de la misma manera que $+$ es un operador que produce un número dados dos argumentos numéricos. Por otro lado, la vinculación ( $ \Rightarrow$ ) es una relación entre declaraciones, no una nueva declaración.

¿Surge una incoherencia al interpretar MP como la afirmación "p y (p implica q) implica q"? ¿En contraposición a la relación de vinculación?

Álgebras de Heyting:

Conozco vagamente la representación de MP en la teoría de categorías. De la entrada de Wikipedia: a Álgebra de Heyting es una generalización del álgebra de Boole, algebraicamente una red con una operación binaria $p \to q$ de implicación (también escrito exponencialmente como $q^p$ ) tal que $(p \to q) \wedge p \leq q$ y $p \to q$ es el elemento máximo tal que $r \wedge p \leq q$ entonces $r \leq p \to q$ .

Sustituyendo $r= p \to q$ la conexión es que $p \to q$ es la "proposición más débil" para la que MP es sólida.

El artículo continúa diciendo que la orden $\leq$ en un álgebra de Heyting "se puede recuperar" la operación de implicación $\to$ para cualquier elemento $p,q$ así: $p \leq q$ si $a \to b = 1$ où $1$ significa que se puede demostrar que es cierto.

¿Cuál es la relación entre la interpretación clásica y la representación algebraica? ¿Qué significa "se puede recuperar"?

Answer 1

Supongamos que se dan las premisas $$(P1)\quad\quad p\quad$$ y $$(P2)\quad p \to q.$$ (No importa para lo que sigue si estamos trabajando aquí en el inglés de los matemáticos, aumentado con una flecha para abreviar "si..., entonces..." o trabajando en un lenguaje más completamente formalizado).

Para derivar la conclusión obvia de estas dos premisas necesitamos un principio de inferencia, una regla permisiva que diga

Desde $A$ y $A \to B$ se puede deducir $B$ .

Sin aceptar alguna regla de este tipo, no podemos llegar a ninguna parte. Si faire aceptar la regla, entonces de la we puede entonces de nuestras dos premisas podemos inferir la conclusión

$$(C)\quad q.\quad$$

Esa inferencia mostrada regla es, por supuesto, la regla del Modus Ponens.

Y como se señaló hace mucho tiempo, sobre todo por Lewis Carroll en 1895 (en su artículo "Lo que la tortuga dijo a Aquiles"), no se puede sustituir la regla por una frase o proposición como

$$(P3) \quad (p \wedge (p \to q)) \to q.$$

para servir de tercera premisa. Porque si sólo aceptamos esto como una nueva premisa, seguiremos necesitando una regla permisiva que nos permita llegar a alguna parte, por ejemplo, la regla

Desde $A$ y $A \to B$ y $(A \wedge (A \to B)) \to B$ se puede deducir $B$ .

¿Podemos evitar apelar a que nueva norma aceptando en cambio la proposición

$$(P4)\quad[(p \wedge (p \to q) \wedge (p \wedge (p \to q)) \to q] \to q?$$

como una nueva premisa. Por supuesto que no. Para llegar a $q$ tendríamos que invocar otra norma más. ¡Así que realmente, realmente, no queremos empezar a bajar esta regresión!

Para más información, véase por ejemplo http://en.wikipedia.org/wiki/What_the_Tortoise_Said_to_Achilles

Moraleja: no podemos sustituir la regla del modus ponens por una frase como $(P3)$ . Por supuesto, $(P3)$ es verdadero y la regla y la verdad están íntimamente relacionadas. Pero incluso si ambos están disponibles, el "modus ponens" es -por tradición muy larga- el nombre de la regla, no de la oración verdadera relacionada.