Cómo encontrar esta suma $\sum_{k=1}^{n}\sqrt[3]{a_{k}}$

Question

vamos secuencia $\{a_{n}\}$ tal

$$(6k^2+2-a_{k})^3=27(4k^6+3k^4+3k^2-1)a_{k}$$ para todos los $k\ge 1$, a continuación, calcular $$\sum_{k=1}^{n}\sqrt[3]{a_{k}}$$

Yo: tengo nota

$$(4k^6+3k^4+3k^2-1)=(2k-1)(2k+1)(k^2-k+1)(k^2+k+1)$$ entonces $$6k^2+2-a_{k}=3\sqrt[3]{(2k-1)(2k+1)(k^2-k+1)(k^2+k+1)a_{k}}$$

Entonces yo no puedo.Muchas gracias

Answer 1

Una observación interesante es que si uno define $u_k=k^3+(k+1)^3$, entonces la definición de la ecuación de $a_k$ puede ser simplificado como $$(u_k - u_{k-1} - a_k)^3 = 27 u_k u_{k-1} a_k\tag{*1}$$ Compare esto con la identidad algebraica

$$\left(x^3 - y^3 - (x-y)^3\right)^3 = 27 x^3 y^3 (x-y)^3$$

Uno sospechar $$\sqrt[3]{a_k} = \sqrt[3]{u_k} - \sqrt[3]{u_{k-1}}$$ es una solución de $(*1)$. Para $k \ge 1$ donde $u_k > u_{k-1} > 0$, podemos verificar que efectivamente este es el caso por sustitución directa. Como resultado, $$\sum_{k=1}^n\sqrt[3]{a_k} = \sqrt[3]{u_n} - \sqrt[3]{u_0} = \sqrt[3]{n^3 + (n+1)^3} - 1$$

Answer 2

Este se ve bastante intratable. Puede ayudar a saber que:

$$a_k = 2 + 6 k^2 \\ + 3 \left(1 - k 3 + 7 k^3 - 12 k^4 + 15 k^5 - 13 k^6 + 18 k^7 - 12 k^8 + 8 k^9\right)^{1/3} \\+ 3 \left(1 + 3 k - 7 k^3 - 12 k^4 - 15 k^5 - 13 k^6 - 18 k^7 - 12 k^8 - 8 k^9\right)^{1/3}$$ Y así, el desarrollo de la $\sqrt[3]{a_k}$ a una toma de corriente de la serie, se puede mostrar que para lo suficientemente grande como $k$: $$\sqrt[3]{a_k} \approx 2^{1/3} - 2^{5/3} k^{-2}$$ Así que por lo suficientemente grande como $n$, su suma debe estar muy cerca: $$\sum_{k=1}^{n}\sqrt[3]{a_k}\approx2^{-5/3}(4 n-H_{n,2})$$ Por supuesto, usted podría calcular órdenes más altos de la serie, si usted realmente necesita la precisión.