Demostrar que la matriz a tiene inversa

Question

Deje $A \in M_{n}(\mathbb{R})$ tal que

$$A^2+ \alpha A+\beta I_{n}=0$$

donde$\space \alpha, \beta \in \mathbb{R} \space$$\space \beta \neq 0 $.

Demostrar que $A$ tiene inversa, y encontrarlo.

He hecho de esta manera:

$A^2+\alpha A+\beta I_{n}=0$

$(A+ \alpha)A=-\beta I_{n}$

$-\frac{1}{\beta}(A+\alpha)A=I_{n} \space$ (debido a $\beta \neq0$)

$(-\frac{1}{\beta}A-\frac{\alpha}{\beta})A=I_{n}$

Así que supuse que $(-\frac{1}{\beta}A-\frac{\alpha}{\beta})$ es la inversa de A, porque su producto con Una es $I_{n}$

Esto es correcto? Gracias

Answer 1

Voy a añadir un sólo un pequeño punto de la OP que es: Su enfoque es un poco similar a la ecuación que nos encontramos durante Cayley-Hamilton Teorema. De ahí, tenemos: $$A^2-tr(A)A+\det(A)I_2=0$$ and when $Un$ is invertible so $\det(A)\neq0$ and then we have: $$A^{-1}=\frac{-1}{\det(A)}(A+tr(A)I_2)$$

Answer 2

Esto no es realmente una respuesta. Es una discusión de Git Gud la respuesta.

Mi reacción inmediata a Git Gud respuesta fue: Eso es ridículo! Usted no necesita todo eso! Y, a continuación, los comentarios consiguió empantanado en una discusión acerca de si las matrices que tenía que ser cuadrado y así sucesivamente.

Pero ese no es el punto. El punto es que el OP de la prueba de $-$ que $(-\frac{1}{\beta}A-\frac{\alpha}{\beta})A=I_{n} -$ puede ser trivialmente modificada para mostrar que $A(-\frac{1}{\beta}A-\frac{\alpha}{\beta})=I_{n}$. Así Git Gud la respuesta fue realmente innecesariamente complicados $-$ determinantes son necesarios aquí.

Tal vez mi comentario estaba fuera de punto. Si es así, espero me he hecho más claro.

Answer 3

Lo que hizo es correcto, pero si quieres ser selectivos acerca de lo que debe demostrar los siguientes

$\textbf{Lemma}:$ Si $M,N$ son matrices cuadradas tales que $MN=I$, $M$ $N$ es no singular y $M^{-1}=N$. Primero vamos a comprobar que $M$ $N$ es no singular: De $MN=I$ se sigue que $\det (MN)=1$, por lo $det(M)det(N)=1$ y, finalmente,$det(M)\neq 0\neq det(N)$. Por lo $M$ tiene una inversa $M^{-1}$. Para demostrar que $M^{-1}=N$, sólo se debe multiplicar por $M^{-1}$ a la izquierda de ambos lados de la igualdad de $MN=I$.