¿Este teorema a cabo para el caso infinito?

Question

Considerar el teorema:

Las órbitas de un subgrupo normal son iguales en tamaño cuando el grupo actúa transitivamente

Esto es afirmado y demostrado aquí. Me pregunto: ¿este teorema también tienen conjuntos infinitos en los que el grupo actúa ? Si no, alguien puede dar un contraejemplo ?

Answer 1

Más generalmente, si $O_1, O_2$ son dos órbitas de $H$, entonces no existe $g\in G$ tal que $x\mapsto gx$ es un bijection $O_1\to O_2$. (La existencia de la siguiente manera de $G$ actúa transitivamente, bijectivity especificando la inversa de la $x\mapsto g^{-1}x$)