Límite de una función racional

Question

Calcular el límite

$$ \lim_{x \to 0} \frac{3x^{2} - \frac{x^{4}}{6}}{(4x^{2} - 8x^{3} + \frac{64x^{4}}{3} )}$$

I dividido por el mayor grado de x, que es $x^{4}$ , además dio

$$ \frac{-\frac{1}{6}}{\frac{64}{3}} = \frac{-1}{128}$$ que está mal... ¿cuál es mi error?

Answer 1

$$ \lim_{x \to 0} \frac{3x^{2} - \dfrac{x^{4}}{6}}{(4x^{2} - 8x^{3} + \dfrac{64x^4}{3} )}$$

$$=\lim_{x\to0}\frac{x^2\left(3-\dfrac{x^2}6\right)}{x^2\left(4-8x+\dfrac{64}3x^2\right)}$$

Anular $x^2$ como $x\ne0$ como $x\to0$

A continuación, establezca $x=0$ ya que no es de la forma $\dfrac00$

Answer 2

Si tu estabas tomando el límite de tu función como $x\to \infty$ , entonces su enfoque habría funcionado. Cuando $x\to \infty$ dividimos el numerador y el denominador por el grado más alto en el denominador.

Sin embargo, aquí se está evaluando un límite como $x\to 0$ . Cuando tenemos un límite $\lim_{x\to 0} \frac{p(x)}{q{x}}$ como es el caso, dividimos el numerador y el denominador por el el grado más bajo.

Haga ese cambio, y encontrará que el límite correcto es $\dfrac 34$ .

Answer 3

En $0$ tenemos $$x^4=o(x^2)\quad\text{and}\quad x^3=o(x^2)$$ así que $$ \lim_{x \to 0} \frac{3x^{2} - \frac{x^{4}}{6}}{(4x^{2} - 8x^{3} + \frac{64x^{4}}{3} )}=\lim_{x \to 0}\frac{3x^2}{4x^2}=\frac34$$

Answer 4

Verás $$\frac{\color{red}{x^2}(3-(x^2/6))}{\color{red}{x^2}(4-8x+(64x^2/3))}=\frac{3-(x^2/6)}{4-8x+(64x^2/3)}\to\frac{3}{4}\ (x\to 0).$$