En qué tipo de los anillos de un divisor de un producto es un producto de los divisores?

Question

En una única factorización de dominio, si $a|bc$, a continuación, $a$ puede ser escrito como $a = a_1a_2$ , de modo que $a_1|b$ e $a_2|c$.

Es esta propiedad de un anillo conmutativo estrictamente más débil que la propiedad de ser una unidad flash usb? Si es así, ¿tienen un nombre, o es equivalente a la de algunos otros conocidos de la propiedad?

Answer 1

Esos anillos son conocidos como pre-Schreier anillos. Fácilmente la propiedad de los rendimientos que los átomos (irreducibles) es de los primeros, por lo que es equivalente a ser un UFD en atomic dominios (distinto de cero nonunits factor en átomos), pero es más débil en ausencia de eso. A continuación se presenta un resumen de las propiedades relativas de los dominios.

PID: $\ \ $ todo ideal es principal

Bezout: $\ \ $ de todos los ideales (a,b) es la principal

GCD: $\ \ $ (x,y) := mcd(x,y) existe para todo x,y

SCH: $\ \ $ Schreier = pre-Schreier & integralmente cerrado

SCH0: $\ \ $ pre-Schreier: a|ac $\, \Rightarrow\, $ a = BC, B|b, C|c

D: $\ \ $ (a,b) = 1 y a|ac $\,\Rightarrow\,$ a|c

PP: $\ \ $ (a,b) = (a,c) = 1 $\,\Rightarrow\,$ (a,bc) = 1

GL: $\ \ $ Lema de Gauss: el producto de la primitiva de polígonos es primitivo

GL2: $\ \ $ Lema de Gauss tiene para todos los polígonos de grado 1

AP: $\ \ $ átomos son los principales [AP = PP restringido para atómica]

Desde atómica & AP $\,\Rightarrow\,$ UFD, la anulación de la anterior UFD $\,\Rightarrow\,$ AP ruta muestra que en la atómica de los dominios de todas estas propiedades (excepto PID, Bezout) el colapso, convirtiéndose en todo equivalente a la UFD.

También hay muchas propiedades conocidas equivalente a D, por ejemplo,

[a] $\ \ $ (a,b) = 1 $\,\Rightarrow\,$ a|ac $\,\Rightarrow\,$ a|c

[b] $\ \ $ (a,b) = 1 $\,\Rightarrow\,$ a,b|c $\,\Rightarrow\,$ ab|c

[c] $\ \ $ (a,b) = 1 $\,\Rightarrow\,$ (a)/\(b) = (ab)

[d] $\ \ $ (a,b) $\,\Rightarrow\,$ lcm(a,b) existe

[e] $\ \ $ a + b X irreductible $\,\Rightarrow\,$ prime para b $\ne$ 0 (deg = 1)

Usted puede encontrar pruebas de la mayoría de los anteriores (incluyendo contraejemplos para implicsaion reversiones) mirando los papeles por D. Anderson y M. Zafrullah con las palabras clave "Schreier" y "de Gauss, Lexema". Ver también esta respuesta de los vínculos en temas relacionados, tales como el clásico de Euler número cuatro teorema (Vierzahlensatz), Riesz interpolación, etc.