resolver $x^2 - 25 xy + y^2 = 1$ ¿tiene solución?

Question

Normalmente, la ecuación de Pell se escribe $x^2 - dy^2 = 1$ pero aquí estoy buscando soluciones a una ecuación del tipo $$ x^2 - k xy + y^2 = 1 $$ y en particular, $k$ es un cuadrado perfecto. Así que estoy eligiendo $k = 25$ un ejemplo.

Si completamos el cuadrado entonces $25/2$ no es un número entero.
$$ xy + x^2 - 26xy + y^2 = x^2 + xy + \big(x - 13y\big)^2 = 170$$ Creo que es mejor resolver el problema original. ¿Puede funcionar alguna variante de la ecuación de Pell?

Answer 1

Lo que se hace es "deprimir" la ecuación (deshacerse del $x^{n-1}$ término), el mismo truco utilizado por Vieta para resolver la cúbica general. Dada, $$x^2-k xy+y^2=1$$ Dejemos que $x=u+av,\,$ y $y=bv$ para conseguirlo, $$u^2 + (2 a - b k) u v + (a^2 + b^2 - a b k) v^2=1$$ Entonces sólo hay que elegir números enteros $a,b$ tal que $2 a - b k=0$ y si $a^2 + b^2 - a b k<0$ Entonces obtendrás una ecuación Pell en forma estándar. Para la tuya, con $a=25,b=2,$ lo que obtienes es, $$u^2-621v^2=1$$ por lo que tiene infinitas soluciones.

Answer 2

Su discriminante, para $x^2 - k x y + y^2,$ es $$ \Delta = k^2 - 4. $$ La solución más pequeña, en enteros positivos, de $$ \tau^2 - \Delta \sigma^2 = 4 $$ es $\tau = k, \sigma = 1.$ Tienes lo obvio $-1$ automorfismo dado por el intercambio de $x,y.$ La matriz que genera los automorfismos orientados es $$ \left( \begin{array}{rr} \frac{\tau - B \sigma}{2} & - C \sigma \\ A \sigma & \frac{\tau + B \sigma}{2} \end{array} \right). $$ Con $A = 1, B = -k, C = 1$ esto se convierte en $$ P = \left( \begin{array}{rr} k & - 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right). $$ $$ P^{-1} = \left( \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -1 & k \end{array} \right). $$ Empezando por un vector columna con entradas $(1,0),$ multiplicando $P$ veces la columna da repetidamente (columnas) $(1,0),$ $(k,1),$ $(k^2 - 1,k),$ $(k^3 - 2k,k^2 - 1),$ y así sucesivamente.

como en $$ \left( \begin{array}{r} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} k & - 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{r} x_n \\ y_n \end{array} \right) $$

De Cayley-Hamilton en la matriz $P$ , obtenemos que ambos $x_n$ y $y_n$ las secuencias obedecen a recursiones lineales $$ x_{n+2} = k x_{n+1} - x_n, $$ $$ y_{n+2} = k y_{n+1} - y_n. $$ Para este problema en particular, esto también es evidente en la matriz $P$ desde el $x$ y $y$ secuencias son las mismas, sólo $y_{n+1}= x_n.$