Diferenciación de la Regla de la Cadena para Funciones de Cuaterniones de Cuaterniones

Question

Estoy tratando de calcular el tiempo de derivada de una función de cuaterniones:

$$\mathbf{p}\left(t\right)=\left(\mathbf{q}\left(t\right)\right)^{\tau}$$

Donde yo he utilizado la fuente en negrita para indicar que $\mathbf{p}$ $\mathbf{q}$ son cada uno de los cuaterniones, mientras que $\tau$ es sólo un escalar (no limitada a números enteros). Lo que me gustaría ser capaz de hacer es aplicar algún tipo de efectiva regla de la cadena para quaternionic diferenciación para calcular el tiempo de derivados:

$$\dot{\mathbf{p}}=\frac{\partial\mathbf{p}}{\partial\mathbf{q}}\cdot\dot{\mathbf{q}}$$

Donde el operador de punto ($\cdot$) representa la costumbre de cuaterniones de la multiplicación. Con un poco de esfuerzo, creo que he demostrado que $\mathbf{p}$ es quaternionic holomorphic y que su quaternionic derivado con respecto a $\mathbf{q}$ es exactamente lo que cabría esperar:

$$\frac{\partial\mathbf{p}}{\partial\mathbf{q}} = \tau\mathbf{q}^{-1}\cdot\mathbf{p} = \tau\mathbf{p}\cdot\mathbf{q}^{-1}=\tau\mathbf{q}^{\tau-1}$$

Por desgracia, cuando trato de las diferentes funciones de $\mathbf{q}\left(t\right)$ y por encima de la regla de la cadena, no entiendo la tasa real de cambio de la función $\mathbf{p}\left(t\right)$, de la cual soy estimar numéricamente. Entiendo que, si realmente me quieres, yo debería ser capaz de calcular el tiempo completo derivado de la $\mathbf{p}$ sin utilizar la regla de la cadena. Pero la vida sería mucho más fácil para mí si yo no tenga que recurrir a que en todos los casos.

Hay un quaternionic versión de la regla de la cadena que puedo usar para simplificar algunos de mi investigación? Por favor, ayuda!

Si usted está interesado, aquí hay un enlace a un PDF donde puedo verificar el quaternionic holomorphicity de $\mathbf{p}$: https://www.scribd.com/document/352235082/Quaternionic-Holomorphicity-Verification

Answer 1

Primero, incluso para los números complejos, la función de $q^\tau$ tiene complicaciones, incluso siendo definido al $\tau$ no es un número entero (tienes que usar cortes de ramas en el avión, lo que obliga $q^\tau$ a un ser discontinuo como casi todos los puntos de la rama). Por ejemplo, $q^{1/2}$ con respecto al estándar de la elección de la rama de corte (el eje real negativo) es discontinua en negativo: como $q\to-1$ a partir de la mitad superior del plano, obtenemos $q^{1/2}\to i$, considerando como $q\to -1$ a partir de la mitad inferior del plano, obtenemos $q^{1/2}\to -i$. La situación se vuelve aún peor si usted está dejando $\tau$ ser nonreal. Ninguna de estas complicaciones desaparecen cuando trabajamos con los cuaterniones.

Segundo, incluso si $\tau$ es un número entero, no $q^\tau$ es no , generalmente, a la izquierda o a la derecha holomorphic como una función de la cuádrupla variable $q$. No me voy a molestar la lectura de la engorroso derivación en la página de scribd, porque este es un hecho bien establecido. Será un suave mapa entre el real colectores si se olvida de los cuaterniones operación de multiplicación a pesar de que, por tanto, es posible que usted está confuso holomorphic con la débil condición.

He aquí un ejemplo: considere el $f(q)=q^2$. Escriba el derecho derivado de la siguiente manera:

$$ \begin{array} \big[f(q+h)-f(q)\big]h^{-1} & =\big[(q+h)^2-q^2\big]h^{-1} \\ & = [hq+qh+h^2]h^{-1} \\ & = hqh^{-1}+q+h \end{array} $$

Tenga en cuenta que $hqh^{-1}$ no depende de la magnitud de $h$, sólo en su fase y la dirección de su parte imaginaria (su componente vectorial). De hecho, si $h=\varepsilon e^{\theta u}$ es su forma polar, $hqh^{-1}$ será el resultado de la rotación $q$'s de la componente vectorial de todo el vector $u$ por un ángulo de $2\theta$. Como tal, el límite de $hqh^{-1}$ $h\to0$ dependerá de la dirección en que $h\to0$, y por lo tanto el límite no existe.

De hecho, es conocido sólo a la izquierda y a la derecha holomorphic de cuaterniones funciones (con dominio de todos los de $\mathbb{H}$) son los afín a las funciones de $qa+b$ $aq+b$ respectivamente.

Tercero, incluso si $\tau$ es un número entero, el tiempo derivado de la $q(t)^\tau$ todavía no lo que dicen que es, esencialmente porque el $q(t)$ $q'(t)$ generalmente no tienen ningún motivo para viajar. Sin embargo, incluso en un no conmutativa escenario que todavía tiene el producto de la regla (ejercicio: probar que el producto de la regla sin asumiendo $f(t_1)$ nunca viajes con $g(t_2)$ cualquier $t_1$ o $t_2$), que puede ser utilizado para dar

$$ \begin{array}{ll} \displaystyle \frac{dq^2}{dt} & \displaystyle =\frac{dq}{dt}q+q\frac{dq}{dt} \\ \displaystyle \frac{dq^3}{dt} & \displaystyle = \frac{dq}{dt}q^2+q\frac{dq}{dt}q+q^2\frac{dq}{dt} \\ \displaystyle \frac{dq^4}{dt} & \displaystyle = \frac{dq}{dt}q^3+q\frac{dq}{dt}q^2+q^2\frac{dq}{dt}q+q^3\frac{dq}{dt} \end{array} $$

y así sucesivamente. Por lo tanto,

$$ \frac{dq^n}{dt}=\sum_{k=0}^{n-1} q^k \frac{dq}{dt} q^{n-k-1} $$

por inducción. Podemos obtener el tiempo de los derivados de las potencias negativas indirectamente:

$$ 0 = \frac{d}{dt}(1)=\frac{d}{dt} (q^nq^{-n})=\frac{dq^n}{dt}q^{-n}+q^n\frac{dq^{-n}}{dt} $$

$$ \implies \frac{dq^{-n}}{dt}=-q^{-n}\frac{dq^n}{dt}q^{-n}. $$