Mi pregunta es después de la construcción del conjunto de Cantor que tal vez quieras saltarte esa parte . Esta pregunta no es filosófica en absoluto, sino que es pertinente para mi comprensión de la medida y el espacio. Por favor, si crees que esto es absurdo, no te molestes en responder.
Construcción del conjunto de Cantor:
Denotaremos el conjunto cantor como $\mathfrak{C}\subset\mathbb{I}$ , $\mathbb{I}=[0,1]$ como se define en la sección 1, como se ha mencionado anteriormente construimos $\mathfrak{C}$ eliminando el tercio medio del conjunto (sin incluir sus extremos). Denotamos este primer trozo en $\mathbb{I}$ como $$\mathfrak{c_{1}}=\left[0,\frac{1}{3}\right]\cup\left[\frac{2}{3},1\right]=\mathbb{I}\setminus\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$$ A continuación recortamos el tercio medio de cada intervalo en $\mathfrak{c_{1}}$ , es decir, los intervalos $\left[0,\frac{1}{3}\right]\text{ and }\left[\frac{2}{3},1\right]$ por lo que obtenemos $$\left[0,\frac{1}{3}\right]\to\left[\frac{0}{9},\frac{1}{9}\right]\cup\left[\frac{2}{9},\frac{3}{9}\right]=\left[0,\frac{1}{9}\right]\cup\left[\frac{2}{9},\frac{1}{3}\right]$$ $$\left[\frac{2}{3},1\right]\to\left[\frac{6}{9},\frac{7}{9}\right]\cup\left[\frac{8}{9},\frac{9}{9}\right]=\left[\frac{2}{3},\frac{7}{9}\right]\cup\left[\frac{8}{9},1\right]$$
Así que escribimos $$\mathfrak{c_{2}}=\left[0,\frac{1}{9}\right]\cup\left[\frac{2}{9},\frac{1}{3}\right]\cup\left[\frac{2}{3},\frac{7}{9}\right]\cup\left[\frac{8}{9},1\right]$$
Por lo tanto, tenemos que $\mathfrak{c_{2}}$ es la unión de $2^{2}$ intervalos, todos los cuales son de la forma $[k/3^{2},(k+1)/3^{2}]$ Si continuamos este proceso para todos $n\in\mathbb{N}$ encontramos que cada $\mathfrak{c}_{n}$ se construye con $2^{n}$ intervalos todos de la forma $[k/3^{n},(k+1)/3^{n}]$ y $\mathfrak{c}_{n+1}$ se obtendrá sacando el tercio medio de cada intervalo en $\mathfrak{c}_{n}$ . El conjunto de cantores es lo que queda después de continuar este procesov para todos $n\in\mathbb{N}$ y luego tomar la intersección sobre cada $\mathfrak{c}_{i}$ o podríamos escribir $$\lim_{n\to\infty}\bigcap_{i=1}^{n}\mathfrak{c}_{i}=\mathfrak{C}$$ Dónde $\mathfrak{C}$ es el conjunto de Cantor.
Mi pregunta:
¿Por qué decimos que el conjunto de Cantor no tiene longitud? Entiendo que la longitud de $\mathfrak{c_1}=\left(\frac{2}{3}\right)^1$ y que la longitud de $\mathfrak{c}_n=\left(\frac{2}{3}\right)^n$ así que $$\lim_{n\to \infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n= 0$$
Desde entonces, $\mathfrak{C}\subseteq\mathfrak{c}_n$ si se deduce que $\mathfrak{C}$ tiene una longitud de cero. O, incluso se podría argumentar que $$\lim_{n\to\infty}\frac{k}{3^{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{k+1}{3^{n}}=0$$ Ya que, los puntos finales de cada intervalo en $\mathfrak{c}_n$ convergen al mismo punto cada intervalo se convertirá en un único punto en el intervalo $\mathbb{I}$ y un único punto $x\in\mathbb{R}$ tiene una medida de cero, es decir $d(x,x)=0$ . Así, sumando las distancias de cada intervalo (de las cuales debe haber $2^{\aleph_0}$ muchos) en $\mathfrak{C}$ , se obtiene que la distancia es cero.
Es el concepto del límite y el espacio lo que me hace tropezar . Incluso si $n\to \infty$ $\frac{k}{3^n}\neq 0$ a menos que $k=0$ (en cuyo caso $\frac{k+1}{3^n}\neq 0$ ). En mi opinión $\frac{k}{3^n}$ nunca podrá igualar $\frac{k+1}{3^n}$ porque $k\in\mathbb{N}$ y $k+1$ es $k$ (por lo que es evidente que no son iguales), por lo que en un mundo de sólo números naturales está claro que $k$ y $k+1$ no ocupan el mismo espacio. Sin embargo, en $\mathbb{R}$ si tomamos el límite $n \to \infty$ de ambos $\frac{k}{3^n}$ y $\frac{k+1}{3^n}$ terminan igualando el mismo punto en el espacio, aunque sus numeradores sean diferentes. Evidentemente, una diferencia de $1$ es insignificante con respecto a $\infty$ . Pero en mi mente el cada punto en $\mathbb{R}^n$ es distinto, si cambias el trillón de decimales en $\sqrt{2}$ y dejar intactas todas las demás cifras, este nuevo número no compartiría el mismo espacio (punto) que $\sqrt{2}$ en $\mathbb{R}$ . Y en esta misma línea siento que $\frac{k}{3^n}$ y $\frac{k+1}{3^n}$ nunca serán iguales, diferirán en algún decimal. Y en última instancia, eso significaría que el conjunto de Cantor tiene una distancia/medida.
¿Alguien puede explicarme por qué debemos pensar de manera diferente sobre esto? Estoy haciendo un primer curso de análisis, pero por favor, siéntase libre de ir más allá de esto si da una explicación más rigurosa de por qué el conjunto cantor no tiene distancia. (También, señale cualquier abuso en el lenguaje que pueda haber hecho.) ¡Gracias!
