Verdadero o Falso: La serie
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin x}{1+n^2x^2}$$
converge uniformemente en $[-\pi,\pi]$.
Agradezco los comentarios sobre el intento de abajo, especialmente si es incorrecta!
Intento de Solución: Falso.
Una serie infinita $\sum_{n=1}^\infty f_n$ real de funciones con valores en un espacio métrico $E$ converge uniformemente si y sólo si, dado cualquier $\epsilon \gt 0$, existe un entero $N$ tal que para cualquier $n \gt m \ge N$,
$$|f_{m+1}(x)+f_{m+2}(x)+\dots+f_n(x)|\lt\epsilon$$
para todos los $x\in E$. Ahora vamos a
$$f_n(x) = \frac{\sin x}{1+n^2x^2}$$
Lo suficientemente pequeño como para $\epsilon \gt 0,\ \sin \epsilon$ ~ $ \epsilon$. Así, en particular, $\sin \frac{\epsilon}{m} \gt \frac{\epsilon}{2m}$ para cualquier entero positivo $m$.
Elija $\epsilon$ lo suficientemente pequeño tal que la sostiene y también $$\frac{1}{1+16\epsilon^2}\gt \frac{2}{3}$$
Ahora vamos a $N$ ser cualquier número entero positivo y deje $x = \frac{\epsilon}{N} \lt \pi$. Para este fijo $x$, $f_n(x)$ es estrictamente decreciente como $n \to \infty$. Así, obtenemos
$$|f_{N+1}(x)+f_{N+2}(x)+\dots+f_{4N}(x)|$$ $$\gt 3N (f_{4N}(x))$$ $$= 3N \frac {\sin \frac{\epsilon}{N}}{1+16N^2(\frac{\epsilon}{N})^2}$$ $$\gt 3N \frac {\frac {\epsilon}{2N}}{1+16\epsilon^2}$$ $$= (\frac{3}{2})(\frac{1}{1+16\epsilon^2})(\epsilon)$$ $$\gt \epsilon$$
Por lo tanto, la serie no converge uniformemente en $[-\pi,\pi]$.
