1-Formas en $SO(3)$ $S^2$

Question

El es un error en alguna parte en el siguiente razonamiento y me parece que no puede detectar que el argumento es incorrecto.

Considere la posibilidad de la mentira de grupo $SO(3)$ $e_{1},e_{2},e_{3}$ como se deja invariante vectorial de los campos. Cada uno de los cuales genera un $S^1$ acción. Quotienting por cualquiera de estos $S^1$ de las acciones (es decir $e_1$), que debería obtener una 2-esfera, $S^2$. Ahora el doble de 1-formas, $e^2$ $e^3$ son invariantes a la izquierda 1-formas y horizontal con respecto a este cociente. Por lo que debe pasar para que el espacio cociente es decir $S^2$. Ahora mi problema es que estas 1-formas mundiales están bien definidos y en ningún lugar de fuga en $S^2$, lo que contradice la Peluda bola teorema.

Answer 1

A la izquierda-invariante campos vectoriales son invariantes bajo a la izquierda de la multiplicación. Sin embargo, el flujo de un campo vectorial invariante actúa por derecho de multiplicación: Por ejemplo, si $\theta^i_t$ representa el flujo de $e_i$, luego $$\theta^i_t(x) = R_{\exp t e_i}(x) = x \cdot \exp t e_i.$$ (Véase mi Introducción a la Suave Colectores (2ª ed.), La proposición 20.8(h).) El $1$formas de $e^2$ $e^3$ no son invariantes bajo a la derecha de la multiplicación, por lo que no descienden al cociente.

Añadido en respuesta al comentario: Si usted comienza con un derecho invariante en el campo de vectores, decir $v$, entonces es cierto que la izquierda-invariante $1$formas de $e^2$ $e^3$ son invariantes bajo el flujo de $v$. Pero eso no es suficiente para ellos para descender a las cociente. He aquí una útil lema -- ver si usted puede demostrar que:

Lema. Si $M$ es un buen colector y $v$ es un campo de vectores en $M$ que genera un libre $\mathbb S^1$ acción, entonces una forma diferenciada $\eta$ $M$ es un ascensor de un formulario en $M/\mathbb S^1$ si y sólo si $v\mathbin{\lrcorner} \eta\equiv 0$ $\mathscr L_v\eta \equiv 0$ (donde $\lrcorner$ denota interior de la multiplicación y de la $\mathscr L$ denota la Mentira de derivados).

En el caso que nos ocupa, tenemos $\mathscr L_v e^2=\mathscr L_v e^3=0$. Pero $e^2(v)$ $e^3(v)$ no son idénticamente cero.