Integral de la $\sqrt{1-x^2}$ usando integración por partes

Question

Se me pidió para resolver esta integral indefinida usando Integración por partes.

$$\int \sqrt{1-x^2} dx$$

Yo sé cómo resolver el problema de si el uso de la sustitución de $x=\sin(t)$ pero estoy buscando la Integración por partes .

cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Voy a reformular la aceptada respuesta en notación diferente, que es más fácil para mí para analizar: vamos a $$u=\sqrt{1-x^2}, \quad dv=dx$$ así que $$du=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}dx,\quad v=x$$ Para mayor brevedad, escribir $I=\int \sqrt{1-x^2}\, dx$. El uso de $\int u\,dv = uv-\int v\,du$, obtener $$I = x\sqrt{1-x^2} - \int \frac{-x^2}{\sqrt{1-x^2}} \,dx$$ La última integral no parece sencillo que el $I$ sí sola, pero puede estar relacionado con a: $$\int \frac{-x^2}{\sqrt{1-x^2}} \,dx = \int \frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}} \,dx \int \frac{1 }{\sqrt{1-x^2}} \,dx = I - \sin^{-1}x$$ Así, $$I = x\sqrt{1-x^2} - (I-\sin^{-1}x)$$ y la solución para $I$ rendimientos $$\int \sqrt{1-x^2}\, dx = \frac12 x\sqrt{1-x^2} + \frac12 \sin^{-1}x + C$$

---

Para la integridad y la comparación, voy a añadir la solución convencional usando $x=\sin t$ de sustitución. Aquí $dx=\cos t\,dt$, por lo que $$\int\sqrt{1-x^2}\,dx = \int \cos^2 t\,dt =\int \left(\frac12+\frac{\cos 2t}{2}\right)\,dt = \frac{t}{2}+\frac{\sen 2t}{4}+C$$ Para volver a $x$, tenga en cuenta que$t=\sin^{-1}x$$\sin 2t = 2\sin t\cos t = 2x\sqrt{1-x^2}$.

Answer 2

$$I=\int 1\cdot\sqrt{1-x^2}dx=\int dx \sqrt{1-x^2}-\int \left(\frac{\sqrt{1-x^2}}{dx}\int dx\right)dx$$

$$=x\sqrt{1-x^2}-\int\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}xdx$$

$$=x\sqrt{1-x^2}+\int\frac{1-(1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}}dx$$

$$=x\sqrt{1-x^2}+\int\frac1{\sqrt{1-x^2}}dx-I$$

Ahora, $\int\frac1{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$