¿Cómo puedo crear un 4 en 4 torneo en el que cada jugador juega con cada otro jugador un número igual de veces?

Question

Me gustaría crear un 4 en 4 torneo con 8 jugadores (4 jugadores en un equipo donde los dos equipos juegan el uno contra el otro cada juego), donde cada jugador juega con cada otro jugador un número igual de veces. Un simple ejemplo de esto sería si tuviera un 2 en 2 torneo con 4 jugadores:

12 v 34

13 v 24

14 v 23

Si se tratara de 6 jugadores haciendo 3 v 3, entonces usted podría tener 10 juegos que cubre el 20 combinaciones posibles. (es decir, 123 v 456 y así sucesivamente).

Con 4 v 4 con 8 jugadores es difícil, o al menos imposible y poco práctico para cubrir todas las combinaciones con 8 Elija 4 siendo 105. Me gustaría determinar un 'muy cerca' solución práctica que no requiere más de 10 juegos, así que realmente ideal sería de 7 juegos en los que cada jugador juega con cada otro jugador 3 veces en total en su equipo. No he sido capaz de encontrar una buena algorítmica manera de acercarse a este aparte de hacerlo a mano y adaptarse a medida que me van a garantizar el jugador 1 juega con todas las otras 3 veces, luego el jugador 2 juega con todos los demás (3-8) 3 veces, entonces el jugador 3 juega con todos los demás (4-8) 3 veces, haciendo los cambios que preservar la anterior cuenta. Cualquier sugerencias o soluciones?

Segunda Actualización:

Me han resuelto el problema por el lado de abajo, donde cada jugador tiene cada otro jugador como un compañero de equipo para que exactamente 3 partidos:

1235 4678

1458 2367

1347 2568

1278 3456

1368 2457

1246 3578

1567 2348

He realizado esto por la mano buscando los desequilibrios y de intentar reequilibrar que conserva el compañero de partido de recuento para el jugador 1. Por ejemplo, si hay un partido con 46 pares pero el 5 de 48 emparejado luego me miró a cambio de un 48 emparejamiento en un 46 y, a continuación, preservar el equilibrio de los emparejamientos para el jugador 1 por cambio de otro de 48 a 46. A continuación, vuelva a comprobar todos los emparejamientos hasta la "4s" todavía estaban equilibradas y continuar. Me siento como fue tonto suerte emparejado con un general buena probabilidad mayor de enfoque que me permitió llegar a esta solución perfecta.

Answer 1

Empecé a pensar en ello de esta manera:

Tenemos $28$ dos parejas de jugadores, que deben ser satisfechos tres veces. Cada juego puede acomodar a seis pares. Si podemos encontrar una configuración óptima de los emparejamientos para un determinado número de juegos de tal forma que cada par está satisfecho, podemos jugar de que la configuración de tres veces.

Decir, tenemos ocho jugadores de $P = \{A, B, ..., H\}$. Los pares que deben cumplirse son:

$$\begin{array}{ccccccc} (AB) & (AF) & (BD) & (BH) & (CG) & (DG) & (EH) \\ (AC) & (AG) & (BE) & (CD) & (CH) & (DH) & (FG) \\ (AD) & (AH) & (BF) & (CE) & (DE) & (EF) & (FH) \\ (AE) & (BC) & (BG) & (CF) & (DF) & (EG) & (GH) \\ \end{array}$$

Donde cada par representa uno de los jugadores de jugar con otro jugador. Para el primer juego, no importa que nos pick-el mismo número de pares serán satisfechos independientemente (12 pares). Por ejemplo, digamos que nuestro primer juego es team $\{A, B, C, D\}$ vs equipo $\{E, F, G, H\}$:

$$(AB)(BC) (CD) \times (EF)(FG)(GH)$$

Los pares de $(AB), (BC), (CD), (EF), (FH),$ $(GH)$ están satisfechos, pero así son las $(AC), (AD), (BC), (BD)$$(EH), (EG), (FH), (FG)$. Tenga en cuenta que, si usted ha cambiado los equipos (por la primera opción), el particular pares satisfecho sería diferente, pero $12$ de ellos siempre estarán satisfechos. (Pensar en el cambio de las etiquetas, por ejemplo. Lo que si $P = \{H, G, F, ... , A\}$?)

Que deja a $16$ pares. Ahora tenemos que cambiar de equipo. Queremos tres nuevos pares en cada equipo. Vamos a decir...

$$(AE)(AH)(BE) \times (CF)(CG)(DF)$$

Esto es sólo el equipo de $\{A,B,E,H\}$ vs $\{C,D,F,G\}$. Esto satisface los pares de $(AE), (AH), (BE), (CF), (CG),$$(DF)$, pero también se $(AE)$ $(CF)$ . De nuevo, [no creo que] se puede obtener más eficiente que la de este. Tratando de quitar cualquiera de los despidos de los resultados en un equipo que es demasiado grande. (Por ejemplo: En el primer equipo, los despidos se $(AE) + (AH)$ $(AE) + (BE)$ (desde $E$ $H$ estaban en el mismo equipo ya, $A$ $B$ estaban en el mismo equipo ya, y $A$ $A$ ... bueno, están siempre en el mismo equipo.) Si intenta cambiar uno de estos pares para otro, menos redundante uno, recibe a un equipo que es demasiado grande---o aumento de los despidos en el otro equipo.

Para el tercer juego, contamos con un equipo $\{A, B, F, G\}$ vs $\{C, D, E, H\}$:

$$(AF)(BF)(BG) \times (DH)(CH)(CE)$$

... que satisface otro $8$ pares. Esto nos deja con sólo dos pares, $(BH)$$(DG)$.

Así que la manera más óptima de los equipos para conseguir que todo el mundo para jugar el uno con el otro, una vez es:

1. $\{A, B, C, D\} \times \{E, F, G, H\}$
2. $\{A, B, E, H\} \times \{C, D, F, G\}$
3. $\{A, B, F, G\} \times \{C, D, E, H\}$
4. $\{B, H, x, x\} \times \{D, H, x, x\}$

Con $x \in P$.

---

Creo que esta es la manera más eficiente de cambio de los equipos de todo. Descargo de mi argumento no es muy matemático (todavía), así que realmente no he probado nada de esto, pero creo que se pueden hacer en una-el principal argumento de "Conmutación equipos de todo te da el mismo resultado, o una peor" ... que en realidad es sólo otra manera de decir "que es el más eficiente."

Se podría concluir que la forma más eficiente a la par de todo el mundo tres veces es siguiendo la configuración anterior tres veces (lo $12$ juegos). Yo soy más escéptico de esta afirmación, sin embargo, debido a que los espacios abiertos en $(4)$ me llevan a creer que hay un poco de espacio con el que trabajar y hacer las cosas más eficientes. Mi instinto es que no, pero $\text{gut instinct} \neq \text{math}$.