Si una matriz $A$ no necesariamente simétrica, tiene valores propios reales y no negativos, ¿es semidefinida positiva?

Question

Sabemos que una matriz simétrica $A$ es semidefinida positiva, es decir $x^TAx \geq 0$ si y sólo si todos sus valores propios son no negativos.

Supongamos ahora que tengo una matriz (no necesariamente simétrica) $A$ en la que todos sus valores propios son no negativos (obviamente reales), ¿es semidefinida positiva?

Mi corazonada es que sí. Porque tal matriz $A$ satisfaría $\lambda_{\min}(A)\|x\|^2 \leq x^TAx$ . Por lo tanto, tiene que ser semidefinida positiva.

Pero he buscado arriba y abajo en todos los libros de álgebra lineal que he encontrado, prácticamente todos ellos establecen la definición con respecto a simétrico matriz semidefinida positiva solamente.

Answer 1

No, considera la siguiente matriz:

$$A=\pmatrix{1&-10\\0&2}$$

Tiene valores propios positivos, pero desde luego no es semidefinida positiva.

Answer 2

La respuesta a tu pregunta es NO. (Y es peor en el caso complejo: si una matriz $A$ es no Hermitiana, entonces es imposible que $x^TAx\geq 0$ para todos $x$ .)

En el marco de complejo espacios vectoriales, si $x^TAx\geq 0$ para todos los vectores complejos $x$ (su definición de semidefinido), lo que implica en particular que $x^TAx\in{\bf R}$ el siguiente teorema de Axler Álgebra lineal bien hecha muestra que $A$ debe ser hermitiana (si $A$ es real, entonces $A$ debe ser simétrica):

En el marco de real espacio vectorial, se tiene el siguiente contraejemplo sencillo.

Para cualquier $(x,y)\in{\bf R}^2$ , $$ (x,y)\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=xy. $$

Answer 3

Dado que, para una matriz real $A$ tenemos $$ x^T A x=x^T A^{(S)} x $$ donde $A^{(S)}$ es la parte simétrica de $A$ entonces el carácter de $A$ con respecto a la definición positiva, o semidefinición, está relacionada sólo con los valores propios de su parte simétrica.

Como muestran los ejemplos de otras respuestas, una matriz puede tener valores propios positivos, pero su parte simétrica puede tener un valor propio negativo, por lo que los valores propios de una matriz no pueden relacionarse con la (semi)definición positiva.