El grupo de simetría y la representación de spin- $N$ partícula

Question

Estoy confundido con el grupo de simetría y la representación de spin- $N$ partículas, y agradecerá cualquier ayuda o sugerencia de referencia.

Hay $2N+1$ estados internos para un espín (masivo) $N$ de partículas. Estos estados internos definen un $2N+1$ -espacio de Hilbert. Parece ser resonable que, el grupo de simetría asociado es $SU(2N+1)$ .

Sin embargo, también parece posible que, el $2N+1$ Los estados corresponden a los $2N+1$ -representación irreducible de $SU(2)$ .

¿Hay alguna relación entre las dos situaciones anteriores, o simplemente confundo algunos conceptos básicos?

Answer 1

Hay algunas confusiones aquí, así que haré mi respuesta modular.

• Una representación $R$ de un grupo $G$ es un espacio vectorial $V$ junto con los operadores $R(g)$ para $g \in G$ que actúan en ese espacio. Por lo tanto, dado sólo un espacio vectorial, no tiene sentido decir de qué es una representación; hay que especificar los operadores.
• Dado sólo un espacio vectorial $V$ no tiene sentido preguntar qué $G$ es. Cualquier espacio vectorial puede ser considerado como una representación de, literalmente, cualquier grupo $G$ cualquier cosa, con $R(g)$ siendo simplemente, por ejemplo, la matriz de identidad para cada $g \in G$ .
• En física, comenzamos con un espacio vectorial $\mathcal{H}$ el espacio de estados de un sistema cuántico. A continuación, identificamos las operaciones físicas, como las rotaciones, las rotaciones de isospín, las rotaciones de color, etc. Cada una de estas operaciones, como conjunto, tiene la estructura de un grupo ( $SU(2)$ , $SU(2)$ y $SU(3)$ ).
• Postulamos que estas operaciones (por ejemplo, la operación física de girar un sistema) están asociadas a operadores sobre $\mathcal{H}$ , haciendo que $\mathcal{H}$ en una representación del grupo correspondiente.
• Decimos que el sistema tiene, por ejemplo, simetría rotacional si el Hamiltoniano conmuta con todos los operadores de rotación. Esto implica que los estados en cada representación irreducible tienen exactamente la misma energía, que es esencialmente lo que hace útil el análisis de simetría.

Bien, ahora vamos a tu pregunta real. Se nos da la $2N+1$ estados de un espín $N$ partícula, y quieres saber si es simétrica bajo $SU(2N+1)$ .

• Los estados forman efectivamente una representación de $SU(2)$ , donde el $SU(2)$ proviene de las rotaciones; eso es sólo por la definición de un giro $N$ partículas. Si tenemos simetría rotacional, entonces los estados deben tener todos la misma energía.
• Nótese que el espín se utiliza casi exclusivamente para describir las representaciones de los operadores de rotación. No hay ningún espín asociado a una representación de $SU(3)$ . Incluso la representación de dos estados del isospín, que también tiene grupo de simetría $SU(2)$ no se llama "espín 1/2" o incluso "isospín 1/2". En su lugar, suele llamarse "doblete de isospín" o "doblete de isospín". $2$ de isospin'.
• Matemáticamente, los estados sí pueden formar una representación de $SU(2N+1)$ donde la representación de una matriz $U \in SU(2N+1)$ es la propia matriz. Pero también podrían formar una representación (reducible) de $SU(2N)$ donde la representación de $U \in SU(2N)$ es $$R(U) = \begin{pmatrix} U & \\ & 1 \end{pmatrix}.$$ Del mismo modo, podrían ser una representación de $SU(2N-1)$ o literalmente de cualquier grupo, donde la representación es $R(U) = I$ . Esto es sólo el segundo punto anterior. Nótese que ninguno de estos grupos podría llamarse grupo de simetría a menos que se sepa que los operadores de representación conmutan con el hamiltoniano.
• Básicamente, inventar operadores de representación no es útil en física a menos que correspondan a una operación física. En el documento que enlazaste La afirmación es que un sistema de giro $N$ Los átomos tienen una simetría mediante la rotación de los estados hiperfinos entre sí; esto no es muy diferente de, por ejemplo, las rotaciones de color o isospín. Así que eso es lo que el $SU(2N+1)$ significa, pero esto es particular a este sistema que están estudiando.

Answer 2

El espacio de representación del espín $j$ puede considerarse como una colección simétrica de $2j$ qubits. Por ejemplo, para $j = \frac{3}{2}$ una base ortonormal de su $4$ -El espacio de representación de las dimensiones viene dado por: $$ \begin{array} \\|0, 0, 0\rangle \\\frac{1}{\sqrt{3}} (|1, 0, 0\rangle +|0, 1, 0\rangle +|0, 0, 1\rangle )\\\frac{1}{\sqrt{3}} (|1, 1, 0\rangle +|0, 1, 1\rangle +|1, 0, 1\rangle )\\ |1, 1, 1\rangle \end{array}$$ El grupo $SU(2)$ gira cada qubit por igual y de forma rígida , para $g \in SU(2)$ su acción en el ejemplo anterior viene dada por: $$g|v_1, v_2, v_3\rangle = |gv_1, gv_2,g v_3\rangle$$ donde, $v_i$ son los vectores bidimensionales que definen el estado del qubit en la esfera de Bloch.

El Grupo $SU(2j+1)$ contiene elementos que rotan los qubits de forma diferente y además se mezclan entre ellos.

Answer 3

No es lo mismo. A $2N+1$ representación dimensional de SU(2) tendría sólo tres generadores: $L_+, L_-$ y $L_z$ . En particular, $L_+$ y $L_-$ sólo conectan estados con $\Delta m= \pm 1$ es decir, sólo puede conectar estados "vecinos" (es una terminología poco precisa). Además, el tamaño de los elementos de la matriz está bastante restringido, ya que la relación básica de conmutación $[L_+,L_-]=2L_z$ debe ser preservado por la representación.

Por otro lado, los generadores de $su(2n+1)$ son de la forma $C_{ij}$ avec $i,j=1,\ldots, 2n+1$ que tienen elementos matriciales no nulos entre $i$ y $j$ es decir, que pueden conectar estados "no vecinos". El tamaño del elemento de la matriz de $C_{ij}$ es $1$ y las matrices deben satisfacer $[C_{ij},C_{k\ell}]= \delta_{jk}C_{i\ell}-\delta_{j\ell}C_{kj}$ .

En otras palabras, sí es posible construir un $2n+1$ representación dimensional de $su(2)$ pero esta representación NO es la misma que la que define $2n+1$ representación dimensional de $su(2n+1)$ .

Como ejemplo sencillo, consideremos el Matrices de Gell-Mann para $su(3)$ . Se puede construir fácilmente un $3$ -irrep de dimensiones de $su(2)$ del momento angular $\ell=1$ pero las tres matrices para $L_+,L_-$ y $L_z$ no se parecen en nada a las 8 matrices de Gell-Mann; es posible escribir algunas pero no todas las $su(2)$ son combos lineales de las matrices de Gell-Mann, pero ciertamente no es posible escribir las 8 matrices de Gell-Mann linealmente independientes en términos de las 3 matrices de momento angular linealmente independientes de dimensión $3$ . En todo caso, hay dos matrices diagonales de Gell-Mann pero sólo una diagonal $su(2)$ matriz.

Answer 4

$SU(2)$ es siempre el grupo de simetría para las partículas de cualquier espín, ya que los generadores de espín son rotaciones. Lo que cambia es la dimensión de la representación de $SU(2)$ tienes que usar. Para girar $N$ partículas, utilizamos una representación de $SU(2)$ en $\mathbb{C}^{2N+1}$ .