$\mathcal{O}_{X}(d)\simeq \mathcal{O}_{X}(D)$?

Question

En $\mathbb{P}^n$ deje $D$ ser un suave hipersuperficie definido por la ecuación $F=0$, F un polinomio homogéneo.

$\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(D)$ es la gavilla de meromorphic funciones en $\mathbb{P}^n$ con los postes en $D$.

$\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(d)$ , $d > 0$ es la gavilla de las secciones del haz de fibras ${S^*}^{\bigotimes d}$, $S$ es el tautológica paquete de $\mathbb{P}^n$.estas secciones están dadas por la homogeneidad de los polinomios de grado d. Tenemos el isomorfismo

$\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(d)\simeq \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(D)$ , $P \mapsto \frac{P}{F}$

Me pregunto si la misma cosa valores para un genérico variedad proyectiva $X$ $D\subset X$ un suave hipersuperficie definido por $F=0$.$\mathcal{O}_{X}(d)$ , $d > 0$ será la gavilla de las secciones del haz de fibras ${S^*}^{\bigotimes d}$, $S$ es el tautológica paquete X. Estas secciones están dadas por la homogeneidad de los polinomios de grado d en $\mathbb{C}[X_0, \cdots , X_n]/I$ , $I$ la definición ideal de $X$, estoy en lo cierto?

¿Este isomorfismo siguen en pie?

$\mathcal{O}_{X}(d)\simeq \mathcal{O}_{X}(D)$ , $P \mapsto \frac{P}{F}$

Answer 1

El isomorfismo que has escrito es sin duda cierto en general, pero el global de las secciones de $\mathcal{O}_X(d)$ no son necesariamente sólo los polinomios homogéneos. Como comentario general, las poleas son generalmente no se determina por su global secciones; muchas de las poleas no tienen ninguno!

Como un simple contador de ejemplo, vamos a $X$ tres puntos en $\mathbb{P}^1$, es decir, $X$ está dado por la fuga de un general cúbicos. Deje $D$ ser un solo punto, es decir, un grado uno "hipersuperficie'. A continuación,$\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(D) \cong \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(1)$, y el espacio global de las secciones es de dos dimensiones. Pero si nos restringimos esta línea de lote a $X$, obviamente el espacio global de las secciones es de tres dimensiones (podemos elegir el valor de forma independiente sobre cada uno de los tres puntos de $X$).

En general, si $\imath :X \hookrightarrow \mathbb{P}^n$ es la incorporación de la $X$, a continuación hay una breve secuencia exacta: $$ 0 \longrightarrow \mathcal{I}_X \longrightarrow \mathcal{S}_{\mathbb{P}^n} \longrightarrow \imath_*\mathcal{S}_X \longrightarrow 0 ~, $$ donde $\mathcal{I}$ es el ideal de la gavilla de $X$ (la gavilla de las secciones de $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}$ que se desvanecen en $X$). Se puede torcer esta por $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(d)$ para obtener $$ 0 \longrightarrow \mathcal{I}_X(d) \longrightarrow \mathcal{S}_{\mathbb{P}^n}(d) \longrightarrow \imath_*\mathcal{S}_X(d) \longrightarrow 0 ~, $$ Desde $d>0$,$H^1(\mathbb{P}^n,\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(d)) =0$, por lo que la larga secuencia exacta en la cohomology nos dice que el espacio global de las secciones de $X$ está dada por las que usted escribió, además de algunos otros, que se cuentan por $H^1(\mathbb{P}^n,\mathcal{I}_X(d))$. El cálculo de este grupo depende mucho en el caso de que usted considere.

En mi ejemplo sencillo, $\mathcal{I}_X(d) \cong\mathbb{P}^1(-2)$, e $H^1(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-2))\cong \mathbb{C}$, dando la sección adicional.