Es posible que dos personas que no son isomorfos grupos para satisfacer la misma de primer orden de las frases y se equicardinal?

Question

Mi pregunta es la misma que la del título. Una prueba o un contraejemplo sería bueno.

Answer 1

Deje $T$ ser la teoría cuyos axiomas son todos los enunciados verdaderos de los números enteros. Aquí el lenguaje de símbolos para $0$, $1$, y para la adición y la multiplicación.

Esta teoría tiene una contables no estándar del modelo. Se obtiene de la forma habitual, mediante la adición de una constante símbolo $a$ y los axiomas que decir $a$ es diferente de $0$, $\pm 1$, y así sucesivamente. Ahora uso la Compacidad y Lowenheim-Skolem.

Deje $G$ ser el grupo aditivo de los enteros, y deje $H$ ser el grupo aditivo de los no-modelo estándar.

Answer 2

Mi ejemplo favorito es la teoría de la torsión libre divisible abelian grupos. Todos estos son de primer orden de las propiedades, pero con un número infinito de axiomas. Un poco de reflexión nos lleva a ver que tal grupo es en realidad un espacio vectorial sobre los racionales, y por lo tanto su isomorfismo tipo está determinado por su dimensión. Para las dimensiones $1,2,\ldots \aleph_0$ los grupos son todos contable, pero nonisomorphic la satisfacción de las mismas penas. En innumerables las cardinalidades de los grupos de tamaño y dimensión son iguales que muestra que dos de los innumerables grupos de la misma cardinalidad son isomorfos, que a su vez implica que esta teoría es completa.