Probar que si $0\leq a,b$ $a+b=1$ $x^ay^b\leq ax+by$ $x, y >0$

Question

Quisiera ayuda para empezar, no están familiarizados con demostrar las desigualdades en general.

Answer 1

esta es una simple y bonita forma de una muy ampliamente utilizado de resultado, por lo que vale la pena mirar desde muchos puntos de vista diferentes. aquí es una

supongamos $b \in (0,1]$. deje $s$ denotar una variable real en $[1,\infty)$. y considere la función: $$ f(s) = 1 + b(s-1) - s^b $$ claramente $f(1)=0$. y tenemos $$ f'(s) = b(1-s^{b-1}) \ge 0 $$ con la desigualdad estricta si $s \gt 1$.

esto significa que $f \ge 0 $, la cual se puede escribir como: $$ s^b \le 1 - b + bs \etiqueta{1} $$ supongamos $y \ge x \gt 0$ y establezca $s=\frac{y}{x}$. entonces (1) se convierte en: $$ \left(\frac{y}{x} \right)^b \le (1-b) + b\left(\frac{y}{x} \right) $$ multiplicando ambos lados por $x$ da ahora: $$ x^{1-b}y^b \le (1-b)x + $$ escrito $a$ $1-b$ da el resultado requerido

Answer 2

Considerar, $f(x)=\log(x)$. A continuación,$f''(x)=-\frac{1}{x^2}<0$. Por eso, $f$ es cóncava función. Desde $a+b=1$, por lo que, utilizando la desigualdad de Jensen ,

$$f(ax+by)\ge af(x)+bf(y).$$

$$\implies \log(ax+by)\ge a\log x+b\log y$$

$$\implies ax+by\ge x^ay^b.$$

Answer 3

SUGERENCIA: Concavidad de los logaritmos.

Answer 4

Usando la desigualdad de Jensen:

$f(\frac{\sum_i a_i x_i}{\sum_i a_i}) \geq \frac{\sum_i a_i f(x_i)}{\sum_i a_i}$ para una función cóncava $f$.

$f=log(x)$ es cóncava.

Por lo tanto,

$log(\frac{\sum_i a_i x_i}{\sum_i a_i}) \geq \frac{\sum_i a_i log(x_i)}{\sum_i a_i}$ $\implies$ $log(\frac{\sum_i a_i x_i}{\sum_i a_i}) \geq log((\Pi x_i^{a_i})^{\frac{1}{\sum_i a_i}})$ $\implies$ $\frac{\sum_i a_i x_i}{\sum_i a_i} \geq (\Pi x_i^{a_i})^{\frac{1}{\sum_i a_i}}$

La última desigualdad es también el genereal ponderado AM-GM de la desigualdad.