Interpretación geométrica de la relación de la Cruz

Question

La cruz proporción de 4 puntos de $A,B,C,D$ en el plano está definido por

$$(A,B,C,D) = \frac{AC}{AD} \frac{BD}{BC}$$

Y es una relación que se conserva en virtud de las proyecciones de inversiones y, en general, por Möbius-Transformaciones.

Aunque puedo ver es la utilidad y el poder, no puedo ver una definición geométrica o de la intuición de la cruz de relación. Alguien puede darme algún conocimiento acerca de esto?

EDIT: Para ser más específico, me gustaría expresar la cruz-la relación de la longitud de un segmento construibles con regla y compás.

Answer 1

Lo que usted ha escrito es el "clásico" de la cruz-relación de la geometría proyectiva, que no se define para cualquier edad 4-tupla de puntos en el plano, pero sólo para una 4-tupla de puntos que se encuentran en alguna línea. El sentido geométrico es que la cruz de relación es un completo "proyectiva" invariante. Por ejemplo, si usted está buscando en perspectiva en 4 puntos colineales $A,B,C,D$, y si usted desea saber si existe otra perspectiva desde la cual los 4 puntos son equidistantes entre sí en orden a lo largo de una línea, después de que otra perspectiva existe si y sólo si la cruz proporción de $A,B,C,D$ es igual a la de la cruz-proporción de cuatro puntos equidistantes en la línea como $1,2,3,4$, es decir,$\frac{1-3}{1-4} \frac{2-4}{2-3} = \frac{4}{3}$.

Nuestros cerebros de mamíferos saber esto: que si nuestro ojo ve una perspectiva de la imagen de una línea con marcas etiquetadas con los números enteros en fin, no se verá como un número de línea a menos que la cruz-las proporciones de todas las sucesivas 4-tuplas son iguales a $\frac{4}{3}$. Hay una buena explicación de esto en Juan Stillwell del libro "Los Cuatro Pilares de la Geometría".

Pero para una 4-tupla de puntos en el plano, su fórmula no es correcta. En lugar usted debe pensar en la $A,B,C,D$ como cuatro puntos en el complejo de avión $\mathbb{C}$, y una expresión como $AC$ debe ser reemplazado por el complejo de valores de diferencia, y a continuación, se utiliza complejo de valores de la multiplicación y la división para obtener el complejo valorado de la cruz-fórmula de relación $$\frac{C}{a-D} \cdot \frac{B, D}{B, C} $$

Answer 2

Dibujar el círculo que pasa a través de $B,C,D$ y el círculo que pasa a través de $A,C,D$ (o la línea de tres puntos colineales). El argumento de la cruz-relación de $\arg(A,B,C,D)$ es el ángulo entre los dos círculos* lugar donde se encuentran en $C$.

Para resolver esto, observe que la construcción y la respuesta que obtengo son invariantes bajo Möbius mapas, por lo que usted puede hacer todo sencillo antes de calcular, por poner $D$ a $\infty$, $C$ en $0$, e $B$$1$.

Para trabajar de lo que el módulo de la cruz-relación debe ser, cambiar sólo algunos de los puntos más y repita. Por ejemplo, $(A,C,B,D)=1-(A,B,C,D)$ $\arg[1-(A,B,C,D)]$ da el ángulo en el $B$ entre los círculos de pasar a través de$A,B,D$$B,C,D$.

Hay varios otros ángulos que se puede medir, pero todos ellos están relacionados por varios bits de la geometría esférica (me resulta más fácil pensar en estas cosas en una esfera, por la proyección estereográfica) de tal manera que conociendo dos de ellas dice que todo el resto.

• Hay cierta ambigüedad en que ángulo de la toma, ya que hay dos opciones, y lo que cuenta como positivo o negativo. Esto puede ser resuelto mediante la comprobación de cada círculo de la orden de los tres puntos marcados, y si el cuarto punto está dentro o fuera del círculo; los detalles se deja como ejercicio para el lector (traducción: no puedo ser molestado a escribirlas).

Answer 3

Vamos a considerar la cruz de relación en el coplex plano, por lo que parece $$(A,B,C,D)=\frac{A-C}{A-D}\cdot\frac{B-D}{B-C}$$

Dado tres punto $A,B,C$ $\widehat{\mathbb C}=\mathbb C\cup\{\infty\}$ existe una única transformación de moebius $z\mapsto \frac{az+b}{cz+d}$ que envía a $A\to 1, D\to 0, C\to\infty$ y esto es exactamente $$f(z)= \frac{A-C}{A-D}\cdot\frac{z-D}{z-C}$$

Por lo tanto $(A,B,C,D)$ como se definió anteriormente es sólo $f(B)$. En otras palabras, la cruz proporción de cuatro puntos es la imagen de un punto una vez que tres de ellos se asignan a $0,1,\infty$ a través de una moebius mapa.

Por lo tanto, cualquier geométrica de la cantidad que se puede "calcular" a partir de los cuatro puntos de $0,1,\infty,z$ por medios que son invariantes bajo moebius mapas, es la misma cantidad que se compute para cualquiera de los cuatro puntos con $(A,B,C,D)=z$. Por ejemplo, los tres ángulos del triángulo con vértices $0,1,z$.

Por otra parte, si consideras $\widehat{\mathbb C}$ como el límite del espacio hiperbólico $\mathbb H^3$, entonces los puntos de $A,B,C,D$ son los vértices en el infinito de una colled ideal tetraedro. El corss-relación completa es una isometría invariantes de la geodésica ideal de tetraedros. Por lo tanto, cualquier metric (métrica hiperbólica) cantidad de calcular (por ejemplo, las distancias entre los bordes opuestos) sólo depende de la cruz de relación. Usted puede encontrar más información sobre este punto de vista en cualquier libro de geometría hiperbólica.

Answer 4

Era mi Conjetura.

Si un cono recto circular en un espacio de 3 dimensiones de semi-ángulo vertical $ \alpha $ tiene un lápiz de cuatro

rayos/generadores (OA,OB,OC, OD)a través de su vértice O, luego,

la cruz-la proporción de su proyección en un plano arbitrario es un invariante proyectivo, es que algunos trigonométricas u otra función de $ \alpha $.

Anteriormente pensamientos ( Drexel Univ. Matemáticas en el Foro de la geometría.rompecabezas) :

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