La estabilidad del punto de espectro

Question

Supongamos que $T$, $S$ son limitados los operadores en $l_2$, $a_n\to 0$ una secuencia de números complejos con la propiedad de que para cualquier $n\in\mathbb{N}$, $T+a_nS$ ha discreta del espectro y no vacía punto del espectro. De lo anterior se sigue que el $T$, ya que la norma límite de $T+a_nS$ también tiene un no-vacía punto de espectro?

Si la respuesta sería "no" para cualquier $S$, cambiaría si tomamos $S$ compacto o finito de rango?

Answer 1

Una aproximación a esta cuestión, pero no una respuesta, y demasiado largo para un comentario.

Digamos, para simplificar, que el $T$ es quasinilpotent. A continuación, $r:\mathcal{L(l_2)}\to:[0,\infty)$ es continua en a $T$. Esto significa que $r(T+a_nS)\to 0$. Pick $\lambda_n$ a ser vectores propios con la norma $1$ autovalores $x_n$, para cada uno de $T+a_nS$. A continuación,$a_n\to0$$\lambda_n\to 0$. Desde $(x_n)$ delimitada, WLOG asumen $x_n\stackrel{w}{\to}x$ (estamos en $l_2$). Tomando $w$-límites en la relación

$$ Tx_n+a_nSx_n=\lambda_nx_n $$

de ello se desprende que $Tx=0$. Si pudiéramos garantizar que las $x\neq 0$, esto significaría que el $0$ es un autovalor de a $T$, y la pregunta tiene una respuesta afirmativa. No sé cómo hacer $x\neq 0$, o incluso si es posible. No creo que el $S$ compacto hace ninguna diferencia.