Probabilidad de que la segunda bola sea negra

Question

Yo estaba tomando Caltech - ML Curso y en la resolución de problemas 1.3 en este enlace

Tenemos 2 opaco bolsas, cada una contiene 2 bolas. Una bolsa tiene 2 bolas negras y el otro tiene una bola negra y una bola blanca. Usted recoger una bolsa al azar y, a continuación, elija una de las bolas en la bolsa al azar. Cuando usted mira a la pelota, es negro. Ahora elija la segunda bola de la misma bolsa. ¿Cuál es la probabilidad de que esta pelota es negro?

Traté de hacerlo de esta manera:

1. Ya que estamos tratando de encontrar la probabilidad de 2º de ser bola de negro cuando ya sabemos que la primera bola sea negra. Esto reduce el problema a la probabilidad con la que se eligió la bolsa con dos bolas negras.

Así que la respuesta debe ser 1/2.

PS: Esto no es una tarea/asignación. Este curso ya ha sido terminado. Estoy tomando sin conexión para el propósito de aprendizaje.

Answer 1

Desde $2$ en los tres bolas negras están en el $2$-los negros de la bolsa, la probabilidad es $2/3$.

Desde la intuición puede ser peligroso, vamos, además de hacer un formal de la probabilidad condicional de cálculo.

Deje $F$ ser el caso de que la primera bola sea negra. La probabilidad de $F$$3/4$. Para con probabilidad de $1/2$, elegimos el $2$-los negros de la bolsa, en cuyo caso la probabilidad de que el negro es $1$, y con una probabilidad de $1/2$ elegimos la bolsa mixta, en cuyo caso la probabilidad de que el negro es $1/2$. Por lo tanto $\Pr(F)=(1/2)(1)+(1/2)(1/2)$.

Deje $S$ ser el caso de que la segunda bola es negra. La probabilidad de $S$ $1/2$ $S$ sucede, precisamente, si nos cogió de la $2$-los negros de la bolsa.

El evento $F\cap S$ sucede precisamente si $S$ sucede. Así $$\Pr(S|F)=\Pr(F\cap S)/\Pr(F)=\frac{2}{3}.$$

Answer 2

Hay un error evidente en Blunderboy explicación.

Su respuesta utiliza la fórmula de Bayes, pero entonces el término P(E) es erróneamente excluido del cómputo. Además, el valor de P(a|B), es simplemente incorrecto.

Esta es la formulación correcta del problema utilizando el teorema de Bayes:

P(a|E) = 1 ( si elegimos la bolsa con dos bolas negras la probabilidad de que se seleccione una bola negra es de 100%)
P(E) = 1/2 ( cada bolsa puede ser elegido con igual probabilidad)
P(a)= 3/4 como explica André Nicolas.

Entonces el teorema de Bayes nos lleva a:

P(E|A)= P(A|E).P(E)/P(A) = (1 * 1/2)/(3/4)=2/3.

Andre Nicolas respuesta, que utiliza el test de Kolmogorov definición en lugar del teorema de Bayes, es completamente correcto.

Answer 3

Aquí es cómo se puede proceder. Adoptar este enfoque. Desde la primera bola es negra y desea saber la probabilidad de que la segunda bola sea dibujado es el negro, Así que es la misma que la probabilidad de decir que el bolso fue elegido el uno con 2 bolas negras.

Por lo tanto, el uso de Bayes el teorema de y considerar estos eventos

A = First ball drawn is black
E = Bag chosen was one with 2B balls
P(A|E) = 1/2
P(A) = 1/2*1 + 1/2*1/2 = 3/4
P(E|A) = P(A|E).P(E)/P(A)
       = (1/2)/(3/4)
       = 2/3 which is correct answer.

Answer 4

En adición a @blunderboy la explicación que he encontrado este artículo del New York Times muy útil en la comprensión de Bayes el teorema de. También checkout wikipedia, que muestra la solución del ejemplo mencionado en el NYT.

Aquí está el original de la cita de el NYT, junto con el ejemplo:

El teorema en sí mismo puede ser dicho de manera muy simple. Comienzo con una hipótesis provisional sobre el mundo (hay, por supuesto, no de otro tipo), le asignamos una probabilidad inicial llamado la probabilidad anterior o simplemente la previa. Después de participar activamente en la obtención o sucediendo en algunos potencialmente pertinentes pruebas, utilizamos de Bayes el teorema de volver a calcular la probabilidad de la hipótesis a la luz de la nueva evidencia. La versión revisada de la probabilidad la probabilidad posterior o simplemente la parte posterior. Específicamente de Bayes el teorema de los estados (trompetas de sonido aquí) que la probabilidad posterior de una hipótesis es igual al producto de (a) la probabilidad anterior de la hipótesis y (b) la probabilidad condicional de la evidencia dada la hipótesis, dividido por (c) la probabilidad de que la nueva evidencia.

Considere la posibilidad de un ejemplo concreto. Suponga que usted está presentado con tres monedas, dos de ellos justo y el otro una falsificación que siempre cae de cabeza. Si usted escoja aleatoriamente una de las tres monedas, la probabilidad de que la falsificación es de 1 en 3. Este es el previo de la probabilidad de la hipótesis de que la moneda es una falsificación. Ahora, después de elegir la moneda, le da la vuelta tres veces y observar que cae de cabeza cada vez. Ver esta nueva evidencia de que el elegido de la moneda ha aterrizado cabeza tres veces en una fila, usted desea saber la versión revisada de la probabilidad posterior de que es la falsificación. La respuesta a esta pregunta, se encontró el uso de Bayes el teorema de (cálculo misericordiosamente omitido), es 4 de 5. Así pues, revisar su estimación de la probabilidad de que la moneda está la falsificación de arriba de 1 en 3 en 4 en 5.

Answer 5

Estoy tomando el mismo curso, sin embargo, la cuestión se desprende que la solución podría encontrarse usando el Teorema de Bayes.

Aunque intuitivamente la respuesta es $\frac{2}{3}$, usando la Regla de Bayes en realidad hizo encontrar la solución más difícil. La reformulación de la cuestión en el contexto de Bayes, uno puede preguntarse "¿cuál es la probabilidad después de seleccionar uno de mármol negro, que el mármol negro de vino de la bolsa con dos canicas negro."

Claramente, la probabilidad de seleccionar dos mármoles negros en una fila de la misma como la selección de uno de mármol negro de la bolsa con dos canicas negro! Y aquí es donde la Bahía del reglamento entra en juego.

$P = \frac{(0.5)(\frac{2}{2})}{(0.5)(\frac{2}{2}) + (0.5)(\frac{1}{2})}$

$P = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{4}}$

$P = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{4} + \frac{1}{4}}$

$P = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}}$

$P = \frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}$

$P = \frac{4}{6}$

$P = \frac{2}{3}$