Análisis Real con un no-estándar de la topología

Question

He llevado a cabo recientemente un estudio independiente de la topología y la estoy usando Munkres Topología de la 2ª edición como el texto principal. Mis antecedentes(teóricos de la química y de la física) es casi totalmente vacío de cualquier tipo de entrenamiento formal en la prueba de escritura. Espero que esta lucha con Munkres resultará en algunas mejoras notables. Tengo algunas preguntas generales sobre el concepto de topología:

1. ¿Cómo cambiar una topología de afectar a otras áreas de análisis? Por ejemplo, ¿cómo sería el estudio de cálculo o análisis real de cambio si he utilizado la topología de Sorgenfrey versus el estándar de la topología en $\mathbb{R}$? Es mi definición de la derivada de la misma?
2. Hay una "correcta" de la topología para el estudio de los fenómenos físicos? Por ejemplo, ¿cómo sería la modificación de una topología afectan simulaciones numéricas de un sistema dinámico?
3. Uno de los temas en Munkres es un estudio de las funciones continuas en diversos espacios topológicos. Algunas de las funciones son continuas en topología $\tau$, pero no en $\tau'$. ¿Esto nos ayude a "hacer" cosas como integrar más extraño?
4. Es posible elegir algunos no estándar de la topología para un simpléctica espacio que permitiría la integración de un Hamiltoniano sobre algunos caótico de dominio.

Supongo que estoy de antojo algún sentimiento por lo que los dividendos serán pagados por el tiempo invertido en la topología general? Thx

Answer 1

Hay mucho más para el estudio de los derivados y el cálculo de simplemente espacios topológicos. Espacios topológicos darle básica para el estudio de funciones continuas, pero el conjunto básico de funciones diferenciables es encapsulado en espacios de Banach que se topológica de estructuras con extra lineal de la estructura y las ideas de distancia. También, para el estudio de la integración "correctamente" que necesita el trabajo de campo de medida de los espacios. Y se entrelazan la integración con la diferenciación, su subyacente de las necesidades de espacio de la estructura de un espacio de Banach y una medida de espacio.

Si usted está preocupado acerca de si usted va a obtener nada de la topología, no te preocupes-le. Por ejemplo, el Valor de la Media y Teorema Teorema del Valor Extremo, que inicialmente son a menudo presentados como teoremas de cálculo o análisis, en realidad, son teoremas sólo a partir de conceptos topológicos (es decir, la conectividad y la compacidad). El estudio del conjunto de la topología es un estudio de ingeniería inversa. De que vas a recibir lo que las propiedades de los números reales (y otros espacios topológicos) surgen sólo de la puramente topológico y continua de las nociones más que diferenciable, suave, monotono, medibles, lineal o nociones.