Variables continuas uniformemente distribuidas

Question

Dejemos que $L_k$ variables uniformes (discretas) i.i.d. en $\{0,1\}$ . Cómo demostrar $$X:=\sum_{k=1}^\infty \frac{L_k}{2^k}$$ se distribuye uniformemente en $[0,1]$ ?

Por supuesto, tengo que demostrar que la cdf es la misma, lo que significa que tengo que demostrar para todos $n \in \mathbb{N}$ , $$P\left(X \leq \frac{j}{2^n}\right) = \frac{j}{2^n}.$$

No tengo ni idea de cómo continuar después

$$P\left(X \leq \frac{j}{2^n} \right) = P\left(\sum_{k=1}^\infty \frac{L_k}{2^k}\leq \frac{j}{2^n} \right)$$

¿Puede alguien darme una pista?

Answer 1

Pistas:

• Dejemos que $n\geqslant0$ y $1\leqslant j\leqslant2^n$ . Escriba $\left[\frac{j-1}{2^n}\leqslant X\lt\frac{j}{2^n}\right]$ como un evento que involucra sólo las variables aleatorias $(L_1,\ldots,L_n)$ .
  Por ejemplo, demuestre que $\left[\frac58\leqslant X\lt\frac34\right]=[L_1=1,L_2=0,L_3=1]$ .
• Deduce que $\mathbb P\left[\frac{j-1}{2^n}\leqslant X\lt\frac{j}{2^n}\right]=\frac{1}{2^n}$ por cada $n\geqslant0$ y $1\leqslant j\leqslant2^n$ .
• Deduce que $\mathbb P\left[X\lt x\right]=x$ por cada $x$ en $[0,1]$ y, por último, que $\mathbb P\left[X\leqslant x\right]=x$ por cada $x$ en $[0,1]$ .