Lanzar un dado $N$ veces, observar los resultados son una monótona secuencia. ¿Cuál es la probabilidad de que todos los 6 números se producen en la secuencia?

Question

Voy a tirar un dado $N$ veces y los resultados se observan a ser una monótona secuencia. ¿Cuál es la probabilidad de que todos los 6 números se producen en la secuencia?

Estoy teniendo problemas con esto. Hay dos casos: cuando el primer número es 1, y cuando el primer número es 6. Por simetría, se puede considerar uno de ellos y el doble de la respuesta al final. He mirado en los casos individuales de $N$, y tienen que

Para $ N = 6 $, la probabilidad es $ \left(\frac{1}{6}\right)^2 \frac{1}{5!} $.

Para $ N = 7 $, la probabilidad es $ \left(\frac{1}{6}\right)^2 \frac{1}{5!}\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{5} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 1\right) $.

No estoy seguro de si las anteriores son correctas. Cuando se trata de a $ N = 8 $, hay muchos más casos a considerar. Estoy preocupado de que podría estar acercándose por el camino equivocado.

También he pensado en el cálculo de la probabilidad de que un número no se producen en la secuencia, pero que no parece ser tan fácil.

Cualquier sugerencias/correcciones sería muy apreciada. Gracias

Answer 1

Como se observa, se puede reducir el problema a monótonamente creciente.

Considere cómo muchos de los casos dar una secuencia progresión de 1 a 6. Que requiere que usted lanza un 1 en el primer lanzamiento, que a las cinco de la tarde se lanza a aumentar en 1; y que en el otro más tarde se lanza siendo el mismo. Así que hay $\binom{N-1}{5}$ opciones para los tiros que cambiar.

Ahora, ¿cuántos posible monótonamente creciente secuencias hay? Una manera de ver este combinatorically es tomar la $N$ elementos de la secuencia, anteponer $1$, y postpend $6$. Hay $N+1$ lugares en esta secuencia donde el valor puede aumentar, y $5$ de ellos se utilizan (con repetición). Que da $\binom{N+5}{5}$

Ahora para convertir la reducción en la respuesta final queremos que el número de monótonamente creciente o decreciente de las secuencias con todos los valores sobre el número de monótonamente creciente o decreciente de las secuencias. Una secuencia no puede ser monótona creciente a través de todos los valores y monótonamente decreciente a través de todos los valores, pero pueden ser monótona creciente y monótona decreciente si es constante, por lo que debemos aplicar inclusión-exclusión para el denominador. Por lo tanto, tenemos

$$\begin{eqnarray} P(\text{All 6 included}|\text{Monotonic}) & = & \frac{ 2\binom{N-1}{5} }{ 2\binom{N+5}{5} - 6 } \\ & = & \frac{(N-1)!\;N!}{(N-6)!\;((N+5)! - 360\;N!)} \\ & = & \frac{(N-5)(N-4)(N-3)(N-2)(N-1)}{(N+5)(N+4)(N+3)(N+2)(N+1) - 360} \end{eqnarray}$$

Answer 2

Tengo un poco diferente respuesta a los anteriores, los comentarios son muy bienvenidos :)

El número de secuencias monótonas podemos observar cuando lanzamos un dado $N$ veces es 2$ N+5\choose5$-$6\choose1$ desde las seis secuencias que consisten en el mismo número en repetidas ocasiones se cuentan como el aumento y la disminución (es decir, que han contado con ellos dos veces, por lo que necesitan para restar 6 para tener en cuenta esto).

El número de aumento de las secuencias de la participación de todos los seis números es $N-1\choose5$ (como ya se ha explicado). Del mismo modo el número de la disminución de las secuencias de la participación de todos los seis números también es $N-1\choose5$.

Por lo tanto, creo que la probabilidad de que todo lo ve todos los seis números de una secuencia monótona de es
2$ N+5\choose5$-$6\choose1$ dividido por 2$N-1\choose5$.

Esta es sólo ligeramente diferente a las anteriores respuestas, pero si alguien tiene algún comentario si usted está de acuerdo o en desacuerdo con mi lógica o si necesita más explicación estaría interesado en saber de usted.

Answer 3

Considere la posibilidad de progresión de los resultados. Vamos a no ser$k_1$, $k_2$ de dos, y así sucesivamente. Claramente $k_1+k_2+k_3+k_4+k_5+k_6 = N$$k_i>0$. La probabilidad es entonces, el número de la citada configuración de $C$ dividido por $6^N$.

Para contar cuántas $\{k_i\}$ están allí, lo mejor es utilizar funciones de generación.

$$ C = [t]_n \left( \frac{t}{1-t} \right)^6 = [t]_{n-6} \left( \frac{1}{1-t} \right)^6 = \binom{n-1}{5} $$

Añadido: En el fin de calcular la probabilidad condicional, se debe contar cuántos monótonamente creciente secuencias de resultados hay. Para este fin, tenemos que soltar $k_i>0$ requisito, manteniendo $\sum_{i=1}^6 k_i = n$. Deje que este recuento $T$, luego

$$ T = [t]_n \left( \frac{1}{1-t} \right)^6 = \binom{n+5}{5} $$

El resultado final, por lo tanto es

$$ p = \frac{\binom{n-1}{5}}{\binom{n+5}{5} } = \frac{(n)^{(6)}}{(n)_6} $$ donde $(n)_m$ es símbolo de Pochhammer, y $(n)^{(m)}$ es la caída de factorial.