Dado que $a + b + c = \pi$ es decir, tres ángulos en un triángulo - entonces demuestre que $$\tan a + \tan b + \tan c = \tan a \tan b \tan c$$
¿Es mi solución a continuación completamente rigurosa? Puedo justificar el tomar la tangente de ambos lados de mi ecuación (creo que no, ya que la tangente no es una función inyectiva).
Podemos escribir $a + b = \pi -c$ entonces tomando la tangente de ambos lados, se obtiene $$\tan (a +b) = \tan(\pi -c) \iff \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} = -\tan c$$
Así que $$\tan a + \tan b = \tan a \tan b \tan c - \tan c$$
Por lo tanto, llegamos a $$\bbox[10px, border: blue 1px solid]{\tan a + \tan b + \tan c = \tan a \tan b \tan c} \quad \square$$
según sea necesario.
La identidad dada no tiene sentido cuando uno de los ángulos es $\pi/2$ . Concedido esto, la solución es correcta, porque $\pi-c=a+b\ne\pi/2$ .
Ninguno de los dos lados tiene sentido para un triángulo rectángulo (a menos que aceptes que en este caso ambos lados evalúan $\infty$ ).
Tenga en cuenta que; $\tan(a+b+c)=0$ entonces
\begin{eqnarray*} % \nonumber to remove numbering (before each equation) \frac{\tan(a+b)+\tan(c)}{1-\tan(a+b)\tan(c)} &=& 0 \\\\ \tan(a+b)+\tan(c) &=& 0 \\\\ \frac{\tan(a)+\tan(b)}{1-\tan(a)\tan(b)}+\tan(c)&=& 0 \\\\ \tan(a)+\tan(b)+(1-\tan(a)\tan(b))\tan(c) &=& 0 \\\\ \tan(a)+\tan(b)+\tan(c)-\tan(a)\tan(b)\tan(c) &=& 0\\\\ \tan(a)+\tan(b)+\tan(c) &=& \tan(a)\tan(b)\tan(c) \end{eqnarray*}
Siempre que ninguno de los ángulos sea $\pi/2$ (pero esto está implícito en la identidad a demostrar).
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Cualquier función bien definida satisface $a=b\implies f(a)=f(b)$ . Su prueba nunca requirió la inyectividad de la tangente, que sería la inversa de la afirmación anterior.
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@boxotimbits Ya veo, ahora tiene sentido. ¡Gracias por aclararlo!