¿Puede la proporción de números lisos acercarse a 1?

Question

Puede que la proporción de $q$-suave números nunca enfoque? Preguntó de forma más rigurosa, podemos tener $$1\in \overline{\{a/b\; :\; a,b \;\text{ are } q\text{-smooth}\}}=\overline{\{\prod_{p_i\le q}p_i^{\alpha_i}\; :\; (a_1, \dots, a_{\pi(q)})\in\mathbb{Z}^{\pi(q)}\}}\;?$$ Si $q=2$, la respuesta es obviamente no, porque $$1\not\in \overline{\{2^{\alpha}\; :\; \alpha\in\mathbb{Z}\}}=\{0\}\cup \{2^{\alpha}\; :\; \alpha\in\mathbb{Z}\}$$ sin embargo más allá de esto, el problema no es fácil. La razón me gustaría saber que esto es debido a que esto implicaría que $$G(q)=\inf \{a/b\; :\; a>b,\; a,b \; q\text{-smooth}\}>1.$$ Tengo la sospecha de que podemos ser capaces de decir, incluso más que $$\overline{\{\prod_{p_i\le q}p_i^{\alpha_i}\; :\; (a_1, \dots, a_{\pi(q)})\in\mathbb{Z}^{\pi(q)}\}}=\{0\}\cup \{\prod_{p_i\le q}p_i^{\alpha_i}\; :\; (a_1, \dots, a_{\pi(q)})\in\mathbb{Z}^{\pi(q)}\}$$ lo que claramente implica el resultado.

Answer 1

Sí, si $q\ge 3$ .

Esto se debe a que $\log_2(3)$ es irracional, por lo que las partes fraccionarias de $\log_2(3^n)$ se encuentran densamente en $[0,1)$ . En particular, pueden llegar a ser arbitrariamente pequeños.

Answer 2

Sí. Podemos considerar las fracciones de la forma $\frac {3^a}{2^b}$. La base de la $2$ registro de esto es $a\log_2(3)-b$. Debido a $\log_2(3)$ es irracional, podemos optar $a,b$ a hacer esta diferencia arbitrariamente cerca de $0$, lo que significa que la relación puede ser arbitrariamente cerca de $1$.