Cálculo del límite sin aproximación stirling

Question

$\lim n^n/(e^nn!)=0$ utilizando la aproximación de Stirling es evidente. Pero podemos hacerlo sin usar la aproximación de Stirling.

Ahora la serie con los términos $x^n n^n/n!$ tiene ROC $1/e$ . ¿Qué podemos decir sobre el comportamiento de las series de potencias en los puntos finales?

Answer 1

Si ponemos $\left(1+\frac1n\right)^n=1$ para $n=0$ tenemos $$ \begin{align} \left.\frac{(n+1)^{n+1}}{e^{n+1}\,(n+1)!}\middle/\frac{n^n}{e^n\,n!}\right. &=\frac{\left(1+\frac1n\right)^n}{e} \end{align} $$ En esta respuesta se demuestra que $$ e-\left(1+\frac1n\right)^n\ge\frac e{2n+3} $$ lo que implica que $$ \frac{\left(1+\frac1n\right)^n}{e}\le\frac{2n+2}{2n+3} $$ Por lo tanto, $$ \begin{align} \frac{n^n}{e^n\,n!} &=\prod_{k=0}^{n-1}\frac{\left(1+\frac1k\right)^k}{e}\\ &\le\prod_{k=0}^{n-1}\frac{2k+2}{2k+3}\\ &\le\prod_{k=0}^{n-1}\left(\frac{2k+2}{2k+3}\frac{2k+3}{2k+4}\right)^{1/2}\\ &=\left(\prod_{k=0}^{n-1}\frac{k+1}{k+2}\right)^{1/2}\\ &=\frac1{\sqrt{n+1}} \end{align} $$ Así, $$ \begin{align} \lim_{n\to\infty}\frac{n^n}{e^n\,n!} &\le\lim_{n\to\infty}\frac1{\sqrt{n+1}}\\ &=0 \end{align} $$

Answer 2

Podemos hacerlo demostrando el teorema de Stirling sin la constante Necesitamos el siguiente lema que ya ha aparecido aquí, y que se demuestra fácilmente mediante una integración parcial inteligente:

Lema. Si $a<b$ y $f(a)=f(b)=0$ entonces $$\int_a^b f(t)\>dt=-{(b-a)^3\over12}f''(\xi)$$ para algunos $\xi\in\ ]a,b[\ $ .

Ahora calculamos la integral $$\int_1^n \log t\>dt=n\log n -n+1\tag{1}$$ utilizando la regla trapezoidal: $$\int_1^n \log t\>dt=0+\sum_{k=2}^{n-1}\log k +{1\over2}\log n+R_n=\log\bigl(n!\bigr)-{1\over2}\log n+R_n\ .\tag{2}$$ El error $R_n$ es positivo, ya que $\log$ es cóncavo. La diferencia $f$ entre $\log$ y la función lineal a trozos interpolante es $=0$ en todos los puntos enteros, y su segunda derivada entre estos puntos viene dada por $$f''(t)=\log''(t)=-{1\over t^2}\ .$$ A continuación, se deduce del lema anterior que $$0<R_n=\sum_{k=1}^{n-1}\int_k^{k+1}f(t)\>dt\leq{1\over12}\sum_{k=1}^{n-1}{1\over k^2}<{\pi^2\over72}<1\ .$$ Utilizando $(1)$ y $(2)$ obtenemos ahora $$n(\log n-1)-\log\bigl(n!\bigr)=-{1\over2}\log n +R_n-1\to-\infty\qquad(n\to\infty)\ ,$$ que es lo que querías.

Answer 3

La relación de términos $n+1$ y $n$ es $$\frac1e\left(1+\frac1n\right)^n.$$

Por el teorema del binomio,

$$\left(1+\frac1n\right)^n=1+\frac nn\frac{n(n-1)}{2n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!n^3}\cdots<2+\frac{n-1}n\left(\frac12+\frac1{3!}\cdots\right)\\=2+\frac{n-1}n(e-2),$$ para que $$\frac1e\left(1+\frac1n\right)^n<1-\frac{e-2}{en}<1-\frac1{4n}.$$

Entonces por telescopia el producto de las proporciones tiende a $0$ .

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ACTUALIZACIÓN: derivación más sencilla.

La función $(1+x)^{1/x}$ es convexo entre $0$ y $1$ para que

$$\frac1e(1+x)^{1/x}\le 1-(1-\frac2e)x<1-\frac x4,$$ y $$\frac{n^n}{e^nn!}=\prod_{k=1}^{n-1}\frac{(k+1)^{k+1}}{e^{k+1}(k+1)!}\frac{e^kk!}{k^k}=\prod_{k=1}^{n-1}\frac1e\left(1+\frac1k\right)^k<\prod_{k=1}^{n-1}\left(1-\frac1{4k}\right),$$ que converge a $0$ .

Answer 4

Desde $$ n=\prod_{k=1}^{n-1}\left(1+\frac{1}{k}\right) \tag{1}$$ se deduce que: $$ \frac{n^n}{n!e^n}=e^{-n}\prod_{k=1}^{n-1}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\tag{2}$$ por lo que para demostrar que el límite es cero basta con demostrarlo: $$ \left(1+\frac{1}{k}\right)^{k+\alpha} \leq e \tag{3}$$ para algún positivo $\alpha$ y cualquier $k\in\mathbb{N}^+$ .

Tomando logaritmos, tenemos que demostrar que para algunos $\alpha > 0$ $$ (k+\alpha) \int_{k}^{k+1}\frac{dx}{x} \leq 1 \tag{4}$$ retiene. Por el Desigualdad de Hermite-Hadamard que tenemos: $$ \int_{k}^{k+1}\frac{dx}{x}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}\right) \tag{5} $$ de ahí la elección $\alpha=\frac{1}{3}$ está perfectamente bien.

Answer 5

Tal vez no sea el método más directo, pero ampliar $$\frac{x^{x}e^{-x}}{\Gamma\left(x+1\right)}$$ en la serie de Puiseux, tenemos $$\frac{x^{x}e^{-x}}{\Gamma\left(x+1\right)}=O\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)$$ en $x\rightarrow\infty.$ Otra forma es observar que se mantiene, por continuidad, $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^{n}e^{-n}}{n!}=\exp\left(\lim_{n\rightarrow\infty}-n+n\log\left(n\right)-\log\left(n!\right)\right) .$$ Ahora ici puedes encontrar una prueba, sin la aproximación de Stirling, de que $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\log\left(n!\right)}{n\log\left(n\right)}=1$$ por lo que $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^{n}e^{-n}}{n!}=\exp\left(\lim_{n\rightarrow\infty}-n\right)=0.$$