Existencia de derivadas continuas de funciones parciales y diferenciabilidad total

Question

Sabemos que para una función $\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^n$ la existencia y continuidad de las derivadas parciales implica la diferenciabilidad de esa función.

¿Será esto cierto para las funciones sobre los espacios producto de espacios de Banach arbitrarios? Es decir, dado $f\colon E_1\times E_2\to F$ ( $E_1,E_2,F$ siendo espacios de Banach) y $(x,y)\in E_1\times E_2$ ¿la existencia y continuidad de $(x,y)\mapsto Df(\cdot,y)(x)$ y $(x,y)\mapsto Df(x,\cdot)(y)$ localmente en $(x,y)$ implica $f$ sea diferenciable en $(x,y)$ ?

Supongo que no lo hará porque la prueba en el caso euclidiano va de $f(p)$ a $f(p+h)$ en un número finito de pasos a lo largo de los ejes de coordenadas... Entonces, ¿tal vez se mantenga en los espacios producto de los espacios de Hilbert? ¿Cuál sería un contraejemplo?

Answer 1

Esto sigue siendo cierto, incluso en el caso de Banach. Porque se tiene un número finito de factores, y toda la continuidad diferenciable en cada uno de ellos.

Para demostrarlo, aplique la igualdad del valor medio dos veces para unir $f (x,y)$ a $f (0,0)$ para ver la diferenciabilidad en 0 :

$$f (x,y) = f (0,0) + \int_0^1 {D_E f (tx, 0)(x)dt } + \int_0^1 {D_F f (x, ty)(y)dt } $$ $$= f (0,0) + \int_0^1 {D_E f (tx, 0)(x)dt } + \int_0^1 {D_F f (0, ty)(y)dt } + \int_0^1 {D_F f (x, ty)(y) - D_F f (0, ty)(y) dt} $$

Donde el último término es $o (|(x,y)|)$ . EDIT : esto es cierto porque hay que tener en cuenta que la continuidad implica una continuidad local uniforme.

Es posible que desee saber si una función $E \rightarrow F$ es continuamente difenetrable en cada subespacio finito $G $ ¿entonces es diferenciable? EDIT : Lo siento, mi contra ejemplo no era válido. Aún así, creo que debería ser falso.

EDIT 2 : He encontrado uno. Tome $E = F = L^\infty$ . Tome las funciones $(f_n)$ donde $(f_n)$ es la secuencia de funciones de $\mathbf{R}$ a $[0,1]$ definido por $f_n(x) = cos(x)$ (Acabo de tomar una función aleatoria suave y acotada que no es $0$ ). Sea $f$ la siguiente función: envía un elemento $(x_n)$ de $L^\infty$ a $(f_n(x_n))$ si $(x_n)$ se desvanece en casi todas partes (observemos $F'$ el subespacio de tales secuencias), $0$ en un suplemento $F''$ de $F'$ y ampliar $f$ por la relación $f(a + b) = f(a) + f(b)$ para $a \in F'$ , $b \in F''$ . Entonces $f$ no es diferenciable (ni siquiera continua) ; además, es continuamente diferenciable en cada espacio finitamente generado de $L^\infty$ . (Todavía tengo dificultades para encontrar un ejemplo en el que $f$ es continua, no diferenciable, y continuamente diferenciable en cada subespacio de dimensión finita ; sería más interesante)

No obstante, el resultado puede generalizarse. Sea $(E_i)$ subespacios de su espacio de Banach $E$ que lo genera en un sentido de Banach (es decir, el cierre del espacio genealizado por el $E_i$ es E). Sea $D_i $ denotan las diferenciales parciales.

Si tiene existencia de diferenciales parciales de $f $ y :

• Para todos $x$ las mayorías $|D_i f(x) | \leq M_{i,x}$ donde $\sum_i M_{i,x}$ converge .

• mayoraciones uniformes $|D_if (x) - D_if (y)| \leq M_{i,U}$ sobre numerosos conjuntos abiertos $U $ de $E$ cuya unión es $E$ donde la suma de los $M_{i,U}$ en $i $ es convergente (tipo de hipótesis de equicontinuidad)

¡Tendrá diferenciabilidad de f !

Es esencialmente la misma prueba del caso de dos factores, en cuyo caso estas hipótesis son trivialmente ciertas.