$[T,S]:=TS-ST=I$ no puede retener

Question

Deje $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ el álgebra de todos los delimitada lineal de operadores en un infinito dimensional complejo espacio de Hilbert $\mathcal{H}$.

Deje $T,S\in \mathcal{B}(\mathcal{H})$. Quiero demostrar que la igualdad \begin{equation}\label{commz} [T,S]:=TS-ST=I \tag{1}, \end{equation} no se puede sostener.

Para ver esto, supongamos que $(1)$ sostiene. Vamos a demostrar por inducción que \begin{equation}\label{tag2} [T, S^n] = nS^{n - 1},\;n\in \mathbb{N}^*. \end{equation} Por supuesto, $[T,S]=S^{0}=I$. Supongamos $[T,S^{n}]= nS^{n-1}$ para algunos $n\in \mathbb{N}^*$. Entonces \begin{align*} [T,S^{n+1}] & = TS^{n+1}-S^{n+1}T\\ & =(TS^{n}-S^{n}T)S+S^{n}TS-S^{n+1}T \\ & = [T,S^{n}]S+S^{n}[T,S] \\ & = nS^{n-1}S+S^{n}=(n+1) S^{n}. \end{align*} Así, \begin{equation*}\label{tag11} TS^n - S^nT = n S^{n=1}, \end{ecuación*} tiene para todos los $n\in \mathbb{N}^*$. Por lo tanto, \begin{align*} n\|S^{n-1}\| & = \|TS^n - S^nT\|\\ &\leq 2 \|T\|\cdot\|S^{n} \|\\ &\leq 2 \|T\|\cdot\|S\|\cdot\|S^{n-1} \|. \end{align*}

Si $\|S^{n-1} \|\ne 0$, obtenemos $n \le 2 \|T\|\|S\|$, para todos los $n\in \mathbb{N}^*$. Esto lleva a una contradicción. Así, $(1)$ no puede mantener por $T,S\in \mathcal{B}(\mathcal{H})$.

Por qué $S^{n-1}\ne 0$ para todos los $n\in \mathbb{N}^*$?

Answer 1

De hecho, la conclusión sólo se aplica si $S^{n-1}\ne 0$.
Pero, supongamos $S^k=0$ para algunos $k$, luego por su fórmula $[T, S^k] =kS^{k-1}$, obtenemos $S^{k-1}=0$, lo que implica $S^{k-2}=0$, y así sucesivamente, hasta que $S=0$ lo cual es imposible, siempre que $[T, S] =I$.