¿Cómo podemos realmente obtener el ángulo de un vector a partir de los componentes?

Question

Por lo general, cuando la gente habla de la obtención de la forma polar de un vector $v$, presentan las siguientes dos fórmulas:

$$\text{Magnitude}(v) = \sqrt{x^2 + y^2}$$

$$\text{Angle}(v) = \arctan \left(\frac{y}{x} \right)$$

$$ \text{ Where } \space v = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$$

Creo que esta fórmula para el ángulo es sólo parcialmente cierto. Creo que una mejor y más completa de la fórmula para el ángulo debe ser:

$$ \text{Ángulo}(v) = \begin{cases} \arctan \left(\frac{y}{x} \right) &; \space x \gt 0 \\ \pi +\arctan \left(\frac{y}{x} \right) &; \space x \lt 0 \\ {\begin{cases} \operatorname{sign}(y) \frac{\pi}{2} &; y \neq 0 \\ \text{undefined} &; \space y = 0 \end{casos}} y; x = 0 \end{casos} $$

¿Hay algún tipo de forma de simplificar esto o para expresar mejor esta, o es este?

Answer 1

Si desea una respuesta en forma de una función matemática definición, utilizando sólo las funciones que eran de uso común en los estudiantes de cincuenta años, creo que no se puede hacer mucho mejor que la excelente respuesta por Rhys Hughes. Como se señaló en la respuesta, esta es la forma en que los matemáticos a menudo definir una función equivalente a la suya en los libros de texto. El único detalle que podría agregar es algo que lidiar con el caso de $x = y = 0.$

Tenga en cuenta que las fórmulas en que la respuesta no te dicen cómo encontrar $\theta,$ pero ¿ identifican a la salida de la función para cualquier posible entrada. Siempre hay algún valor de $\theta$ que satisfaga ambas ecuaciones cuando $x^2 + y^2 \neq 0,$ y nunca habrá más de un valor de $\theta$ que satisface ambas ecuaciones.

Si desea una fórmula para calcular el ángulo de usar sólo las funciones que eran de uso común en los estudiantes de cincuenta años, creo que la fórmula que escribió está cerca de los mejores que puedes conseguir, aunque me gustaría manejar uno o dos casos de una forma un poco diferente.

Si quieres una buena manera de representar a su función en otras fórmulas, usted puede pedir prestado el de dos parámetros arco tangente de la función que está definida en muchos paquetes de software. Es decir, definir una función $\operatorname{atan2}(y, x)$ cuyo valor es el ángulo del vector de $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}.$ Puede definir $\operatorname{atan2}(y, x)$ ya sea en el estilo de la complejidad del análisis de los libros de texto se describe en la otra respuesta, o puede definir en su estilo:

$$ \operatorname{atan2}(y, x) = \begin{cases} \arctan\left(\frac yx\right) & x \gt 0 \\ \arctan\left(\frac yx\right) + \pi \quad & x \lt 0, \ y \geq 0 \\ \arctan\left(\frac yx\right) - \pi \quad & x \lt 0, \ y < 0 \\ \frac\pi2 & x = 0,\ y > 0 \\ -\frac\pi2 & x = 0,\ y < 0 \\ \text{undefined} & x = 0,\ y = 0. \end{casos} $$

Cuando esto está implementado en el software creo que el "indefinido" caso por lo general vuelve $0.$

Si usted tiene que escribir las fórmulas que involucran la dirección de los ángulos de varias de las dos dimensiones de los vectores en términos de sus componentes, entonces usted puede encontrar la notación $\operatorname{atan2}(y, x)$ conveniente.

Answer 2

Esto parece muy similar a los números complejos, donde $\text{Magnitude}(v)$ se muestra con $|v|$ y $\text{Angle}(v)$ se escribe $\text{arg}(v)$ . Tenemos que $\arg(v)$ es el ángulo único $\in (-\pi, \pi]$ donde:

$$\cos\theta =\frac{x}{|v|}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ $ y $$\sin\theta=\frac{y}{|v|}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$ $