Probabilidad de $2$ pares en $5$ dados

Question

Lanzamos $5$ dados. ¿Cuál es la probabilidad de obtener $2$ ¿pares?

Mi solución dice que es $$\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 5! }{6^5\cdot 2\cdot 2!\cdot 2!},$$ mientras que para mí es $$\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 5!}{6^5\cdot 2!\cdot 2!}.$$

Hago lo siguiente: Lanzamiento de $5$ dados es lo mismo que lanzar un dado $5$ tiempos. Lo que queremos es $AABBC$ .

Tenemos $6$ posibilidades de $A$ , $5$ posibilidades de $B$ y 4 posibilidades para C. Como el orden no cuenta tenemos que multiplicar por $\frac{5!}{2!2!}$ . Al final, consigo $$\frac{6\cdot 5\cdot 4 \cdot 5!}{6^5\cdot 2!\cdot 2!}.$$ ¿Qué hay de malo en mi argumento?

Answer 1

Hay que dividir el resultado por $2$ porque no le interesa el orden de los dos pares diferentes: $11336$ es el mismo de $33116$ .

Tenemos $\binom{6}{2}$ formas de elegir los valores de las dos parejas (digamos $A$ y $B$ con $A<B$ ) y $4$ formas de elegir el valor único (digamos $C$ ). El número de permutaciones de "palabra" $AABBC$ es $5!/2!/2!$ . Por lo tanto, la probabilidad es $$\frac{\binom{6}{2}\cdot 4 \cdot \frac{5!}{2! 2!}}{6^5}=\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 5! }{6^5\cdot 2\cdot 2!\cdot 2!}$$

Answer 2

Pongamos un ejemplo sencillo: dos dados y quieres que tengan valores diferentes. Como comprobación, esta es la probabilidad de que no sean iguales por lo que es $1-\dfrac16=\dfrac56$

Tomando su enfoque, usted diría que la probabilidad debería ser $\dfrac{6\cdot 5 \cdot 2!}{6^2\cdot 1!\cdot 1!} = \dfrac{10}{6}$ lo cual es claramente erróneo. El problema es que has contado dos veces las posibilidades. Por ejemplo, has tratado de elegir $A=3, B=4$ a diferencia de la elección de $A=4, B=3$ , pero luego han contado el patrón ordenado $A,B$ a diferencia de $B,A$ Así que $3,4$ se cuenta dos veces (al igual que $4,3$ )

Hay dos formas de evitar este problema (sólo debe utilizar una de ellas, ya que son alternativas)

• Se podría decir que hay ${6 \choose 2}=\dfrac{6 \times 5}{2}$ formas de elegir $A$ y $B$
• Habiendo elegido $A$ y $B$ se podría dividir el número de pedidos por $2!$ desde $A$ debe comparecer ante $B$

Esto se traslada a su pregunta particular y le permitirá obtener la respuesta correcta