Círculo de nueve puntos - prueba usando geometría plana

Question

Estoy tomando un curso de cálculo multivariable de este año y pensé que sería una buena idea repasar plano y a la geometría sólida.

Me gustaría demostrar que, para cualquier triángulo dado, no hay un único círculo que pasa a través de los tres puntos medios de los lados, los pies de las alturas, y la mitad de los puntos en el segmento de unirse a los pies de las perpendiculares y el ortocentro. Podría usted por favor, dame alguna pista, que llevaría a la correcta prueba?

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Para un ejemplo del tipo de trabajo que yo he hecho ... En algunos de los resultados relacionados con el triángulo de los centros, que fue capaz de demostrar que el centroide $G$ divide la línea que une el ortocentro $H$ y el circuncentro $K$ en la proporción de $2:1$. Yo no estaba seguro de cómo probar que $H$, $G$, $K$ son colineales. Aprendí de la Kiselev Geometría del libro acerca de cómo demostrar este resultado. La idea es que el circuncentro del triángulo original es el ortocentro del triángulo medial $H^\prime$. Y el medial del triángulo reflejado sobre el centroide $G$, seguido por la dilatación de un factor de $2:1$ resultados en el triángulo original. Por lo tanto, el centro de $H^\prime$ se mueve hasta el punto de $H$. Ambos triángulos comparten el centroide $G$. Así, $H$, $G$, $K$ son colineales.

Saludos, Quasar.

Answer 1

Los nueve punto de círculo existe en todos los triángulos , pero para esta respuesta , nos vamos a centrar en el caso cuando la $\triangle ABC$ es aguda .

En primer lugar , recordemos las propiedades de los cuadriláteros cíclicos , ya que esto nos ayudará a demostrar la concyclicity de puntos .

Los principales puntos a recordar , es que los ángulos opuestos son suplementarios , y que los acordes sobrepasan la igualdad de los ángulos en la circunferencia . La igualdad de los puntos a destacar es que el recíproco también es cierto. Esto es cómo vamos a demostrar que los puntos se encuentran en un círculo.

Para el problema , puede ser la mejor manera de resolver en los pasos .

Paso $1$:-

En el paso $1$ , tal vez podemos probar que los pies de las alturas se encuentran en la misma un círculo los puntos medios.

Para ello , de una sola altura debe ser suficiente . Como, si podemos demostrar que este se encuentra en el mismo círculo como los puntos medios , los otros deben así. Para probar esto , tal vez el punto medio del teorema , y básico ángulo persiguiendo ayudará a...

Sugerencia:-

Demostrar $\triangle FAX$ es isósceles mediante el recíproco del teorema del punto medio . Entonces demostrar que $\angle FXE$ e $\angle FDE$ son suplementarios .

Paso $2$:-

Supongo que usted ha terminado de paso $1$ . Ahora , hacemos uso de la información que los pies de las alturas y los puntos medios de la mentira en el mismo círculo , para demostrar que los puntos medios de las líneas uniendo los vértices de la orthocentre también se encuentran en el mismo círculo . De nuevo , las propiedades de las alturas y los puntos medios nos debería ayudar a resolver esto . Observe que en la figura , $M'$ es el punto medio de la línea que une el vértice $C$ a orthocentre $H$ . $M$ es el punto medio de la $BC$

Sugerencia:-

$M'M$ une los puntos medios de dos segmentos de línea ! Utilizar el teorema del punto medio . También , hacer una buena observación. Desde $\angle CFB = \angle BEC = 90 $ , $CB$ es el diámetro del círculo que se inscribe cuadrilátero cíclico $CEFB$ ! También , $M$ es el punto medio del diámetro de la... Por el ángulo de la captura , y el uso de estas observaciones , usted debe ser capaz de demostrar que $\angle FM'M = \angle FEM$, demostrando que el cuadrilátero es cíclico .

Esto completa la prueba , como se debe de cumplir que todos los otros puntos medios de las líneas uniendo los vértices con el orthocentre son concyclic así.

Por supuesto , hemos demostrado la existencia de la $9$-punto de círculo, para que sólo agudo de ángulo de triángulos , pero confío en que ahora debería ser capaz de demostrar que para todos los demás triángulos así!